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13.如图所示,倾斜传送带与水平方向的夹角为θ,质量为m的木块放在传送带上,用一根平行于传送带、劲度为k,原长为lo的轻弹簧栓接,弹簧的另一端固定,当传送带顺时针匀速转动,木块相对地面静止时,弹簧压缩,当传送带逆时针匀速转动时,木块相对地面静止时,弹簧伸长,已知弹簧的压缩量为伸长量的一半,滑动摩擦力等于最大静摩擦力.求:
(1)木块与传送带间的动摩擦因数μ;
(2)当传送带静止时弹簧的长度l0

分析 (1)当传送带顺时针匀速转动,木块相对地面静止时,弹簧压缩,木块受到重力、滑动摩擦力、弹簧的弹力、传送带的支持力,采用正交分解法,建立等式关系;当传送带逆时针匀速转动时,木块相对地面静止时,木块受到重力、滑动摩擦力、弹簧的弹力、传送带的支持力,采用正交分解法,建立等式关系,联立求解
(2)当传送带静止时弹簧的长度是一个范围,最小值与最大值分别对应(1)的两种情况,因为滑动摩擦力等于最大静摩擦力.

解答 解:(1)当传送带顺时针匀速转动,木块相对地面静止时,弹簧的压缩量为x,根据平衡条件得:
kx+mgsinθ=μmgcosθ①

当传送带逆时针匀速转动时,木块相对地面静止时,根据平衡条件得:
mgsinθ+μmgcosθ=2kx②

联立①②式,解得:μ=3tanθ  x=$\frac{2mgsinθ}{k}$
(2)当木块刚好不下滑时,弹簧的压缩量为x,弹簧的长度l=l0-x=l0-$\frac{2mgsinθ}{k}$
当木块刚不上滑,弹簧的伸长量为2x,弹簧的长度l=l0+2x=l0+$\frac{4mgsinθ}{k}$
当传送带静止时弹簧的长度l满足:l0-$\frac{2mgsinθ}{k}$≤l≤l0+$\frac{4mgsinθ}{k}$我
答:(1)木块与传送带间的动摩擦因数μ为3tanθ;
(2)当传送带静止时弹簧的长度l的范围:l0-$\frac{2mgsinθ}{k}$≤l≤l0+$\frac{4mgsinθ}{k}$.

点评 考查共点力平衡,受力分析,用正交分解法求解;刚好不滑动的临界条件:两物体间静摩擦力刚好达到最大,滑动摩擦力等于最大静摩擦力.

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