Question

6．如图所示AB为光滑的斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，质量为m的小球乙静止于水平轨道上，一个质量为M（M＞m）小球甲以速度v₀与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面AB，求：
（1）在甲、乙第一次碰撞后的速度；
（2）在甲乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围？（设斜面足够长）

Answer 1

分析 （1）甲、乙两球碰撞时动量守恒，机械能也守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律求出第一次碰后两者的速度．
（2）碰后乙在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出乙球能到达的最大高度范围．

解答 解：（1）甲、乙两球第一次碰撞过程中，取向左为正方向，由动量守恒定律得：
Mv₀=Mv₁+mv₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得碰后甲、乙的速度分别为：v₁=$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，v₂=$\frac{2M}{M+m}$v₀=$\frac{2{v}_{0}}{1+\frac{m}{M}}$
①当M＞＞m时，v₂=2v₀，
碰后乙上升到最高点时，速度为零，在此过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv₂²
乙球能上升的最大高度为：h=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$
②当M=m时，v₂=v₀，h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
则乙球上升的最大高度范围是：$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$≤h≤$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$
答：（1）在甲、乙第一次碰撞后的速度分别为$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$和$\frac{2M}{M+m}$v₀；
（2）在甲乙发生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能达到最大高度的范围为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$≤h≤$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$．

点评 本题考查了动量守恒、能量守恒的综合运用，关键是要知道弹性碰撞的特点：动量守恒、动能守恒，解题时要注意讨论乙球的速度范围．