Question

从离地面高度为h处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v₀竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v₀应满足什么条件？

v₀≥

gh 2

（不计空气阻力，两物体均看作质点）．若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v₀应满足什么条件？

gh 2

≤v₀≤

gh

．

Answer 1

分析：根据位移时间公式分别求出甲和乙的位移大小，两物体在空中相碰，知两物体的位移之和等于h，再结合相遇的时间小于乙竖直上抛运动的总时间，求出乙的初速度v₀应满足的条件．
要使乙在下落过程中与甲相碰，则运行的时间大于乙上升的时间小于乙上升和下落的总时间．根据时间的关系，求出速度的范围．

解答：解：设经过时间t甲乙在空中相碰，甲做自由落体运动的位移为
   h₁=

1

2

gt2 ①
乙做竖直上抛运动的位移 h₂=v₀t-

1

2

gt2  ②
由几何关系 h=h₁+h₂ ③
联立①②③解得 t=

h

v0

④
设乙抛出后经过时间t₀落地，根据速度-时间关系有 t₀=

2v0

g

⑤
要甲乙在空中相遇，应满足 0＜t≤t₀ ⑥
联立④⑤⑥解得 v₀≥

gh 2

．
故乙的初速度v₀应满足 v₀≥

gh 2

．
在乙下落过程中，甲乙相遇，应满足

v0

g

≤t≤

2v0

g

 ⑦
联立④⑦解得

gh 2

≤v₀≤

gh

故答案为：v₀≥

gh 2

，

gh 2

≤v₀≤

gh

点评：解决本题的关键知道两物体在空中相碰，两物体的位移之和等于h，结合物体运动时间的范围，求出初始度的范围．