Question

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R=0.4m的光滑半圆形轨道，B点为水平面与轨道的切点，用水平力F将质量m=2.0kg的小球从A点由静止开始推到B点后撤去力，AB间的距离为L，g=10m/s²．
（1）若小球恰好能到达C点，求小球在B点的速度大小；
（2）若D点与O点等高，求小球运动到D点时对圆形轨道的压力大小；
（3）若小球沿半圆形轨道运动到C点处后又正好落回A点，在完成上述运动过程中推力最小，求推力最小值为多少？此时L的长度为多少？

Answer 1

分析：（1）小球恰能到达C点，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出C点的速度，然后再根据动能定理求出小球在B点的速度大小．
（2）根据动能定理求出小球运动到D点的速度，沿半径方向的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，从而得出小球对轨道的压力．
（3）小球从C点出来后做平抛运动，可通过平抛运动的公式和动能定理求出力F和L的关系，再通过数学知识求出最小的力及此时的L．

解答：解：（1）小球恰好通过C点，在C点重力提供向心力：mg=m

vc

R

①
  B到C由动能定理得：-2mgR=

1

2

mvc2-

1

2

mvB2②
联立①②解得vB=

5gR

=4.47m/s
故小球在B点的速度大小为4.47m/s．
（2）D到C由动能定理得，-mgR=

1

2

mvc2-

1

2

mvD2③
在D点有：N=m

vD2

R

④
联立③④两式解得：N=3mg=60N．
故小球运动到D点时对圆形轨道的压力大小为60N．
（3）A到C由动能定理得：FL-2mgR=

1

2

mvc2⑤
C到A小球做平抛运动：L=v_ct⑥
                 2R=

1

2

gt2⑦
由⑤⑥⑦解得F=

25L

4

+

16

L

 由数学关系可知当

25L

4

=

16

L

时，外力最小，最小值为：F=20N，此时L=1.6m．
故推力最小值为20N，此时L的长度为1.6m．

点评：该题把圆周运动和平抛运动的相关知识联系起来考查，提高了难度，要求同学们能够正确判断物体在某个阶段的运动情况和受力情况，难度较大．