Question

7．如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．则a与b的线速度大小之比、a与b的周期之比、a与b的角速度大小之比、a与b的向心加速度大小之比分别是多少？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力列式，表示出线速度、周期、角速度、向心加速度，再求解各量的比例关系．

解答 解：人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球的万有引力提供向心力，则有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=mω²r=ma
得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
a与b的轨道半径之比为：r_a：r_b=（R+R）：（R+2R）=2：3，代入上式可得：
a与b的线速度大小之比 v_a：v_b=$\sqrt{6}$：2
a与b的周期之比 T_a：T_b=2$\sqrt{6}$：9
a与b的角速度大小之比ω_a：ω_b=9：2$\sqrt{6}$
a与b的向心加速度大小之比 a_a：a_b=9：4
答：a与b的线速度大小之比为$\sqrt{6}$：2，a与b的周期之比为2$\sqrt{6}$：9，a与b的角速度大小之比为9：2$\sqrt{6}$，a与b的向心加速度大小之比是9：4．

点评 解决本题的关键要建立模型，明确卫星圆周运动向心力的来源：地球的万有引力，能灵活选择公式的形式．