Question

1．在光滑水平面上有间距为d的两平行板AB，板B附近的一个小球（可视为质点），质量为m，t=0时刻受外力作用由静止开始运动，如图甲（该图为俯视图）．外力随时间变化规律如图乙所示，取图甲中x方向为正向，其正向外力为F₀，反向外力为-kF₀（k＞1），外力变化的周期为2T．若整个运动过程中，小球未碰到板A

（1）若k=2，小球在0-2T时间内不能到达板A，求d应满足的条件；
（2）若小球在0-200T时间内未碰到板B，求199T-200T过程中小球速度v随时间t变化的关系；
（3）若小球在第N个周期内的位移为零，求k的值．

Answer 1

分析 （1）电子在0～τ时间内做匀加速运动，在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做初速度为零的匀加速运动，电子不能到达极板A的条件为电子运动位移之和小于板间距离
（2）电子2n～（2n+1）τ时间内向下匀加速直线运动，在（2n+1）～2（n+1）τ时间内做向下做匀减速直线运动，求出一个电压变化周期内电子速度的增量，再求任意时间电子的速度随时间的变化规律
（3）电子在第N个周期内的位移是在2（N-1）τ～（2N-1）τ时间内的位移与电子在（2N-1）τ～2Nτ时间内的位移的矢量和，求出表达式，利用位移为零得到k的表达式

解答 解：（1）先匀加速运动具有${a}_{1}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}$，再匀减速运动，具有${a}_{2}^{\;}=-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}=-\frac{2{F}_{0}^{\;}}{m}$．
在$0-\frac{3}{2}T$内正向运动，有$x=\frac{{a}_{1}^{\;}T}{2}×\frac{3T}{2}＜d$，
故$d＞\frac{3{F}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4m}$
（2）在199T--200T的过程中，未到达A板，有100T加速度为${a}_{1}^{\;}$，99T加速度为${a}_{2}^{\;}$．（t-199T）加速度${a}_{2}^{\;}$．
$v=100T{a}_{1}^{\;}+99T{a}_{2}^{\;}+（t-199T）{a}_{2}^{\;}$，其中${a}_{1}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}$，${a}_{2}^{\;}=-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}$，
代入解得$v=（1+k）\frac{100{F}_{0}^{\;}}{m}T-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}t$
（3）第N个周期初速度为${v}_{0}^{\;}$，则${v}_{0}^{\;}=（N-1）{a}_{1}^{\;}T+（N-1）{a}_{2}^{\;}T$，前半个周期位移
${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}T+\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{T}_{\;}^{2}$，后半个周期位移${x}_{2}^{\;}=（{v}_{0}^{\;}+{a}_{1}^{\;}T）T+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{T}_{\;}^{2}$．而${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=0$
代入解得$k=\frac{4N-1}{4N-3}$
答：（1）若k=2，小球在0-2T时间内不能到达板A，求应满足的条件$d＞\frac{3{F}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4m}$；
（2）若小球在0-200T时间内未碰到板B，199T-200T过程中小球速度v随时间t变化的关系$v=（1+k）\frac{100{F}_{0}^{\;}}{m}T-\frac{k{F}_{0}^{\;}}{m}t$；
（3）若小球在第N个周期内的位移为零，k的值$\frac{4N-1}{4N-3}$

点评 电子在交变电场中的变加速运动问题是考察的热点，重要的是分析清楚电子的运动情景，同时这种问题运算量较大，过程较为复杂，给学生造成较大的难度．