Question

6．有一架电梯，启动时匀速上升，加速度为2m/s²，制动时匀减速上升，加速度为-1m/s²，楼高54m．
（1）电梯升到楼顶的最短时间是多少？
（2）若上升的最大速度为6m/s，电梯升到楼顶的最短时间是多少？
（3）果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为16.5s，上升的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）当电梯先匀加速直线运动，再匀减速直线运动到零，这样所需的时间最短．根据运动学公式求出最短的时间．
（2）根据速度时间公式求出匀加速运动的时间和匀减速运动的时间，结合匀加速和匀减速运动的位移得出匀速运动的位移，从而得出匀速运动的时间，得出电梯上升到楼顶的时间．
（3）设最大速度为v，根据第一问的思路，分别得到加速、减速和匀速的时间（包含v的表达式），最后代入数据求解；

解答 解：（1）电梯先加速后减速，设最大速度为v
根据匀变速直线运动的速度位移公式${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{4}$
${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2}$
${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=54$
解得：$v=6\sqrt{2}m/s$
${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}s=3\sqrt{2}s$
${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{6\sqrt{2}}{1}=6\sqrt{2}s$
最短时间：${t}_{min}^{\;}={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=9\sqrt{2}s$
（2）匀加速时间${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{6}{2}s=3s$
匀加速位移${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{{6}_{\;}^{2}}{2×2}=9m$
匀减速时间${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{6}{1}s=6s$
匀减速位移${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{{6}_{\;}^{2}}{2×1}=18m$
匀速的位移${x}_{3}^{\;}=54-9-18=27m$
匀速运动的时间${t}_{3}^{\;}=\frac{{x}_{3}^{\;}}{v}=\frac{27}{6}=4.5s$
电梯升到楼顶的最短时间是${t}_{min}^{\;}=3+6+4.5=13.5s$
（3）设加速：加速度a₁，时间t₁；减速加速度a₃，时间t₃，最大速度为v
匀加速时间：${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{v}{2}$
匀减速时间：${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{v}{1}=v$
匀速时间：${t}_{3}^{\;}=16.5-\frac{3}{2}v$
匀加速位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{4}$
匀减速位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2}$
匀速位移${x}_{3}^{\;}=v{t}_{3}^{\;}=16.5v-\frac{3}{2}{v}_{\;}^{2}$
${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}+{x}_{3}^{\;}=54$
即：$16.5v-\frac{3}{4}{v}_{\;}^{2}=54$
解得：v=18m/s
答：（1）电梯升到楼顶的最短时间是$9\sqrt{2}m/s$
（2）若上升的最大速度为6m/s，电梯升到楼顶的最短时间是13.5s
（3）如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为16.5s，上升的最大速度是18m/s

点评 解决本题的关键理清电梯的运动过程，抓住总位移一定，灵活运用运动学公式进行求解．