Question

15．如图1是用传送带传送行李的示意图．图1中水平传送带AB间的长度为L=8m，它的右侧是一竖直的半径为R=0.8m的四分之一圆形光滑轨道，轨道底端与传送带在B点相切．若传送带向右以v₀=6m/s的恒定速度匀速运动，当在传送带的左侧A点轻轻放上一个质量为m=4kg的行李箱时，箱子运动到传送带的最右侧如果没被捡起，能滑上圆形轨道，而后做往复运动直到被捡起为止．已知箱子与传送带间的动摩擦因数为μ=0.1，重力加速度大小为g取10m/s²，求：
（1）箱子从A点到B点所用的时间及箱子滑到圆形轨道底端时对轨道的压力大小；
（2）若行李箱放上A点时给它一个v_A=5m/s的水平向右的初速度，到达B点时如果没被捡起，则箱子离开圆形轨道最高点后还能上升多大高度？在如图2给定的坐标系中定性画出箱子从A点到最高点过程中速率v随时间t变化的图象．

Answer 1

分析 （1）物体在传送带先做匀加速运动，根据牛顿第二定律和速度公式求出速度增大到与传送带相等所用的时间，并求出此过程的位移，与传送带的长度比较，分析物体能否做匀速运动．根据牛顿第二定律、第三定律结合求解物体对轨道的压力．
（2）根据运动学速度位移关系式求解出物体到达B点的速度，物体在圆形轨道上运动时机械能守恒，列式可求出箱子上升的高度．

解答 解：（1）皮带的速度 v₀=6m/s
箱子在传送带上匀加速运动的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²
设箱子在B点的速度为 v_B，由：v_B²=2ax，解得：v_B=4m/s＜v₀，
所以箱子从A点到B点一直做匀加速运动
由x=$\frac{1}{2}$at²，解得从A点到B点运动的时间为：t=4s，
箱子在圆形轨道最低点时，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：F=120N，
由牛顿第三定律知箱子对轨道的压力大小为120N．
（2）设箱子速度达到v₀=6m/s时
位移为 x′，则v₀²-v_A²=2ax′，
解得：x′=5.5m＜8m，
因此箱子先匀加速运动一段时间，速度达到6m/s后
开始做匀速运动，即在B点的速度为 v₀
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg（R+h）
解得箱子在圆形轨道上上升的高度 h=1m
箱子从A点到最高点过程中速率v随时间t变化的图象如图．
答：（1）箱子从A点到B点所用的时间及箱子滑到圆形轨道底端时对轨道的压力大小为120N；
（2）箱子从A点到最高点过程中速率v随时间t变化的图象如图所示．

点评 本题是一道力学综合题，解决本题的关键要正确分析箱子的受力情况，判断其运动情况，要通过计算进行分析，不能简单的定性分析，同时要灵活选择运动学公式解答．