Question

2．已知一简谐振动的周期为1秒，振动曲线如图所示．求：
（1）简谐振动的余弦表达式；
（2）a、b、c各点的相位及这些状态所对应的时刻．

Answer 1

分析 （1）若此单摆的振动图象是余弦函数，由图读出振幅和开始时的位置，由周期求出角速度，再写出振动方程．φ${φ}_{0}=-\frac{π}{6}$
（2）由图读出各点的位移，结合振动的方程，即可写出各点的相位及这些状态所对应的时刻．

解答 解：（1）由题，简谐振动的周期是1s，则圆频率：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{1}=2π$rad/s
由图可知，该振动的振幅是4cm，t=0时刻质点的位移为2cm，需要经过一段时间后才能到达最大位移处，余弦函数的表达式的初相位才为0，
将t=0时刻的位移代入方程，得：2=4cosφ₀
所以，${φ}_{0}=-\frac{π}{6}$
则简谐振动的余弦表达式为：x=Acos（ωt+φ₀）=4cos（2πt-$\frac{π}{6}$）[cm]
（2）由图可知，a点位于最大位置处，所以相位是0，2πt_a-$\frac{π}{6}$=0，所以${t}_{a}=\frac{1}{12}$s
a点的位移为2cm，所以：cos（2πt_b-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，则2πt_b-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$所以：${t}_{b}=\frac{1}{6}$s
c点位于负的最大位移处，即x=-4，所以：cos（2πt-$\frac{π}{6}$）=-1，2πt_c-$\frac{π}{6}$=π，则：${t}_{c}=\frac{7}{12}$s
答：（1）简谐振动的余弦表达式为x=4cos（2πt-$\frac{π}{6}$）[cm]；
（2）a、b、c各点的相位分别是0，$\frac{π}{6}$和π；这些状态所对应的时刻分别是$\frac{1}{12}$s，$\frac{1}{6}$s，和$\frac{7}{12}$s．

点评 由振动图象读出周期、振幅，写出对应的振动方程，都是基本功，要充分应用数学知识写出振动方程．