Question

2．如图所示，水平向右的匀强电场区域足够大．a、b为完全相同的金属小球，其质量均为m．b球被一根长为L的绝缘细线固定悬挂在电场中的O点．开始时b球不带电并静止在图中的B点．现将a球带上q=+$\frac{2mg}{E}$的电量后从图中的A点以某一初速度沿竖直方向抛出，A点距B点的水平距离为d，经过一段时间后a球在最高点与b球发生弹性碰撞，碰撞时间极短．碰后a、b两球均在竖直平面内运动、碰后两球均分电荷，使得q_a=q_b=+$\frac{mg}{E}$，不计一切阻力和两球之间的库仑力．求：
（1）a球与b球碰撞之前，a球做的是怎样的运动，试分析它的运动状态？
（2）如果b球被a球碰后恰能维持竖直平面内的圆周运动，则b球在哪个位置速度最小，最小速度为多少？
（3）当水平距离d=？时b球被a球碰后恰能维持竖直平面内的圆周运动．

Answer 1

分析 （1）碰撞之前，a小球受到恒定重力和电场力的作用，做匀变速曲线运动；
（2）两球相碰后，均分电荷，b球在复合场中运动，b球在复合场中做圆周运动，把复合场等效为重力场，则在等效重力场的最高点速度最小，结合动能定理求解；
（3）两球相碰发生弹性碰撞，根据动量守恒的和机械能守恒求解速度，b小球由B到D的过程中，由动能定理列式求解速度，再根据牛顿第二定律及运动学基本公式求解即可．

解答 解：（1）碰撞之前，a小球受到恒定重力和电场力的作用，做匀变速曲线运动．F₁=qE=2mg，水平方向上是初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向上是竖直上抛运动．
（2）两球相碰后，均分电荷，b小球受到的电场力F₂=qE=mg．故b小球在复合场中做圆周运动时速度最大的位置在C点，与竖直方向的夹角为45°，速度最小的位置在C点关于圆心O的对称位置D点，设最小速度为v₃．
在D点：$mgcos{45°}+{F_2}cos{45°}=m\frac{v_3^2}{L}$
得：${ν_3}=\sqrt{\sqrt{2}gL}$
（3）两球相碰发生弹性碰撞，假设碰后两小球的速度分别为v₁、v₂则：mν₀=mν₁+mν₂$\frac{1}{2}mν_0^2=\frac{1}{2}mν_1^2+\frac{1}{2}mν_2^2$
联立求解得：v₁=0，ν₂=ν₀
b小球由B到D，由动能定理：$\frac{1}{2}m{ν}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{ν}_{2}^{2}=-mgL（1+cos45°）-{F}_{2}Lcos45°$
带入数据得：${ν_2}={ν_0}=\sqrt{（2+3\sqrt{2}）gL}$
a小球碰撞之前水平方向上的分运动的加速度为：${a_x}=\frac{F_1}{m}=2g$
由匀加速运动学公式 ν²=2as可得：$ν_0^2=2{a_x}d$
带入数据得：$d=\frac{{（2+3\sqrt{2}）L}}{4}$
答：（1）碰撞之前，a小球受到恒定重力和电场力的作用，做匀变速曲线运动，水平方向上是初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向上是竖直上抛运动；
（2）如果b球被a球碰后恰能维持竖直平面内的圆周运动，则b球在图中D位置速度最小，最小速度为$\sqrt{\sqrt{2}gL}$；
（3）当水平距离d=$\frac{（2+3\sqrt{2}）L}{4}$时b球被a球碰后恰能维持竖直平面内的圆周运动．

点评 本题的物理过程较多，综合性很强，关键是分析物体的受力情况，把握每个过程遵循的物理规律，对于弹性碰撞，应根据机械能守恒和动量守恒列式，两球质量相等，会交换速度．