Question

如图所示，电荷量为e、质量为m的质子从坐标原点O处沿xOy平面射入第二象限内的各个不同方向，射入时的速度大小均为v₀．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些质子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏PQ上，不计质子重力．求：
（1）质子穿过y轴时离坐标原点O的最大距离；
（2）质子打到荧光屏上范围的长度；
（3）所加磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）从第二象限射入的质子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的负方向）分布在0°到90°的范围内，沿x轴负方向射入的质子的偏转角最大，经过y轴上的点距O点最远．经分析可知，此距离为质子运动轨迹半径的2倍．
（2）作出平行于x轴入射的质子轨迹和垂直于x轴入射的质子的轨迹，两个电子的运动半径相同，通过几何关系可知质子打到荧光屏上的长度等于轨迹的半径．
（3）结合平行于x轴射入的质子和垂直于x轴方向射入的质子的轨迹，结合几何关系可得知磁场最小面积时的图形，从而可得出最小面积．

解答：解：（1）设质子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得：ev₀B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

eB

沿x轴负方向射入的质子的偏转角最大，穿过y轴时离坐标原点O的距离最大为：y_max=2R=

2mv0

eB

．
（2）如图所示，初速度沿x轴负方向的质子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的质子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点；由几何知识可得：
PQ=R=

mv0

eB

．
（3）取与x轴负方向成θ角的方向射入的质子为研究对象，其射出磁场的点为E（x，y），因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：
  x=Rsinθ
  y=R+Rcosθ
即：x²+（y-R）²=R²
又因为质子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以（0，R）为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：S=

3

4

πR2+R²-

1

4

πR2=（

π

2

+1）(

mv0

eB

)2
答：
（1）质子穿过y轴时离坐标原点O的最大距离是

2mv0

eB

；
（2）质子打到荧光屏上范围的长度是

mv0

eB

；
（3）所加磁场区域的最小面积为（

π

2

+1）(

mv0

eB

)2．

点评：本题在审题时要关注以下两点：
（1）从第一象限射入的质子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的正方向）分布在0°到90°的范围内．
（2）质子穿过磁场后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”这个条件．