Question

如图甲所示纸平面内一群相同带电粒子，以相同速度连续从A点开始做直线运动，一段时间后进入一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），第一个粒子飞出磁场后从上板边缘平行于板面进入两面平行的金属板间，两金属板带等量异种电荷，粒子在两板间经偏转后恰从下板右边缘飞出．已知带电粒子的荷质比为

q

m

=2.0×106c/kg，其重力不计，粒子进入磁场前的速度方向与带电板成θ=60°角，匀强磁场的磁感应强度为B=0.5T，带电板长为l=20cm，板距为d=10cm，板间电压为U=100V．不考虑粒子间的相互作用．试回答：
（1）上金属板a带什么电？说明理由．
（2）圆形磁场区域的最小面积为多大？
（3）若在两金属板上加上如图乙所示的电压，则在哪些时刻进入的带电粒子能够飞出两板间而不碰到极板上？
（最后结果保留一位有效数字）

Answer 1

分析：（1）根据粒子穿过磁场，速度变为水平，由左手定则可知，粒子带电电性；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，将其分解，根据运动学公式，求得速度；并由牛顿第二定律，列出洛伦兹力提供向心力，来确定运动轨迹的最小半径，即可求解；
（3）粒子在电场中，利用牛顿第二定律求出加速度，并得出在时间T内的侧移量，然后根据题意要求，运用位移与时间关系，确定时间范围．

解答：解：（1）带电粒子穿过磁场时，速度变为水平，
由左手定则知，带电粒子带负电；
粒子射入电场后从下板边缘飞出，粒子所受电场力向下，故上板带负电．
（2）设粒子的速度为v₀，粒子在电场中作类平抛运动，飞越两金属板间需时间T
水平方向有：l=v₀T          ①
竖直方向有：d=

1

2

qU

md

T2   ②
解得：T=1×10^-5s，
v0=2×104m/s．
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，
由牛顿第二定律有：Bqv0=m

v 2 0

R

  ③
设磁场的最小半径为r，由几何关系得：r=Rsin30°    ④
故磁场的最小面积为：S=πr²=3×10^-4m²        ⑤
（3）粒子飞越电场的时间为一定值T，粒子运动的加速度为：
a=

qU

md

=4×109m/s2                     ⑥
若粒子从t=0、2×10^-5s、4×10^-5s …时刻进入，
在时间T内侧向移动距离为：y=

1

2

aT2=0.2m＞d                            ⑦
设粒子恰好从下板右边缘水平飞出，
则有：d=2?

1

2

at2  ⑧
解得：t=0.5×10^-5s
设粒子进入板间向下加速时间为t′据对称性可知再历时t′子竖直速度为零，
对以上过程，粒子向下的位移为：y′=2?

1

2

at′2           ⑨
要使粒子不碰板而飞出，应满足：

1

2

a(T-2t′)2≤y′   ⑩
联立⑧⑨解得：t′≥2.93×10^-6s
故粒子能飞出两板间对应的入射时刻为：
（2k+0.5）×10^-5s≤t≤（2k+0.7）×10^-5s（0，1，2，…）  
答：（1）上金属板a带负电，其理由：粒子射入电场后从下板边缘飞出，粒子所受电场力向下，故上板带负电．
（2）圆形磁场区域的最小面积为3×10^-4m²；
（3）若在两金属板上加上如图乙所示的电压，则在这些（2k+0.5）×10^-5s≤t≤（2k+0.7）×10^-5s（0，1，2，…）时刻进入的带电粒子能够飞出两板间而不碰到极板上．

点评：考查粒子在磁场中做匀速圆周运动，掌握处理的规律，在电场中做类平抛运动时，掌握处理的方法．注意运动学公式及几何关系在其应用，并理解牛顿第二定律．最后画出正确的运动轨迹的是解题的关键．