Question

（18分）如图(a)所示，有两级光滑的绝缘平台，高一级平台距离绝缘板的中心Ｏ的高度为h，低一级平台高度是高一级平台高度的一半．绝缘板放在水平地面上，板与地面间的动摩擦因数为μ，一轻质弹簧一端连接在绝缘板的中心，另一端固定在墙面上。边界ＧＨ左边存在着正交的匀强电场和变化的磁场，电场强度为Ｅ，磁感应强度变化情况如图(b)所示，磁感应强度大小均为Ｂ．有一质量为m、带负电的小球从高一级平台左边缘以一定初速滑过平台后在t=0时刻垂直于边界ＧＨ进入复合场中，设小球刚进入复合场时磁场方向向外且为正值．小球做圆周运动至Ｏ点处恰好与绝缘板发生弹性碰撞，碰撞后小球立即垂直于边界ＧＨ返回并滑上低一级平台，绝缘板从C开始向右压缩弹簧的最大距离为Ｓ到达D，求：

⑴ 磁场变化的周期Ｔ；
⑵ 小球从高一级平台左边缘滑出的初速度v；
⑶ 绝缘板的质量Ｍ；
⑷ 绝缘板压缩弹簧具有的弹性势能Ｅ_P．

Answer 1

⑴    ⑵   ⑶  3m ⑷ 3μmgS．

试题分析：⑴带电小球垂直于边界ＧＨ进入复合场，运动到Ｏ点恰与绝缘板碰撞，碰后能返回平台，说明小球在复合场中　　qＥ＝mg　       1分
洛仑兹力做匀速圆周运动的向心力，且经过半个圆周到达Ｏ点，碰后再经过半个周期回到二级平台．由   qvＢ＝m      1分
Ｔ＝    1分
得到带电粒子在磁场运动的周期公式 Ｔ＝      1分
①②消去q，得交变磁场变化的周期 Ｔ＝     1分
⑵由牛顿第二定律有：qvＢ＝m 
由几何关系有：r＝h/2        1分
①③④联立，解得：　v＝      2分
⑶设小球碰撞后的速度大小为V，绝缘板的速度大小为V_m。则题意可知，小球返回的半径r′=＝，又根据r＝可得：则V＝       1分
小球与绝缘板碰撞过程中，以小球和绝缘板为系统，动量守恒。
有：mv＝ mV＋ＭV_m      2分
而小球与绝缘板发生的是弹性碰撞，它们构成的系统机械能守恒，有：
有： mv²＝mV²＋ＭV_m²        2分
⑤⑥⑦联立解得：Ｍ＝3m       1分
⑷绝缘板从Ｃ点运动至Ｄ点的过程中，根据功能关系有：
Ｅ_Ｐ＋μＭgS＝ＭV_m²        2分
①③⑤⑥⑦⑨⑩联立解得：Ｅ_Ｐ＝ 3μmgS．       2分