Question

4．人类实现登月梦想，是从测算地月质检的距离开始；我国成功发射的“嫦娥三号”探测器，完美着陆月球虹湾地区．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为$\frac{1}{6}$g，月球半径为R′，月球绕地球运动的周期为T，引力常量为G，不计地球，月球自传的影响，求：
（1）地月之间的距离为多少？
（2）月球的质量为多少？

Answer 1

分析 （1）月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出地月间的距离．
（2）万有引力等于重力，应用万有引力公式可以求出月球的质量．

解答 解：（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，地月间的距离：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）月球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{R{′}^{2}}$=m×$\frac{1}{6}$g，
解得月球质量：M=$\frac{gR{′}^{2}}{6G}$；
答：（1）地月之间的距离为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）月球的质量为$\frac{gR{′}^{2}}{6G}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力等于重力、万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．