Question

3．如图所示，在光滑的水平面上有一个质量为2m的小球A，小球A左端放置一个轻弹簧（不粘连），小球A的右端很远处有一个固定的光滑斜面，斜面足够大，现有一个质量为m的小球B以x₀的初速度向A球运动过来，求：
（1）系统运动过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）A球在斜面上能上升的最大高度（A球冲上斜面时的能量损失忽略不计）．

Answer 1

分析 （1）B压缩弹簧过程A、B、弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒，当A、B速度相等时弹簧的压缩量最大，弹性势能最大，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出最大弹性势能．
（2）A、B系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出A、B分离后A的速度，然后应用动能定理可以求出高度．

解答 （1）当AB共速时，弹簧的弹性势能最大，A、B系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=3mv，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$•4mv²+E_Pm，
解得：E_Pm=$\frac{1}{3}$mv₀²；
（2）设小球刚上斜面时的速度为v_A，整个过程AB系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=2mv+mv′，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv′²+$\frac{1}{2}$•2mv²，
解得：v=$\frac{2}{3}$v₀，
当小球上升到最大高度时，速度为0，由动能定理：2mgh=$\frac{1}{2}$•2mv²，
解得：h=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9g}$；
答：（1）系统运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为$\frac{1}{3}$mv₀²；
（2）A球在斜面上能上升的最大高度为$\frac{2{v}_{0}^{2}}{9g}$．

点评 本题考查了求弹性势能、球上升的高度，考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，应用动量守恒定律、机械能守恒定律与动能定理可以解题．