Question

17．如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F₁，当从M中挖去一半径为r=0.5R的球体时，剩下部分对m的万有引力为F₂．求F₁与F₂的比．

Answer 1

分析 根据万有引力定律求出M对m的万有引力，当从M中挖去一半径为r=$\frac{1}{2}$R的球体时，剩下部分对m的万有引力等于原来的万有引力减去被挖去的球体对m的万有引力．

解答 解：质点与大球球心相距2R，其万有引力为F₁，则F₁=$\frac{GMm}{{（2R）}^{2}}$
大球质量M=ρ×$\frac{4}{3}$πR ³，挖去的小球质量M′=ρ×$\frac{4}{3}$π（$\frac{R}{2}$）³，
即M′=$\frac{1}{8}$ρ×$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{M}{8}$
小球球心与质点间相距$\frac{3}{2}$R，小球与质点间的万有引力为：
F₁′=$\frac{GM′m}{{（\frac{3R}{2}）}^{2}}$
则剩余部分对质点m的万有引力为：
F₂=F₁-F₁′=$\frac{GMm}{{（2R）}^{2}}$-$\frac{GM′m}{{（\frac{3R}{2}）}^{2}}$=$\frac{7}{36}$$\frac{GMm}{{R}^{2}}$．
所以F₁与F₂的比是9：7．
答：F₁与F₂之比是9：7．

点评 本题主要考查了万有引力定律得直接应用，注意球体对质点的距离为球心到质点的距离，难度不大，属于基础题．