Question

（21分）如图所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失（g=10m/s²）。求：

（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍；

（2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ。

Answer 1

（21分）

（1）设物块的质量为m，其开始下落处的位置距BC的竖直高度为h，到达B点速度为v，小车圆弧轨道半径为R。由机械能守恒定律，有：mgh=mv²--（3分）　

根据牛顿第二定律，有：9mg－mg=m--------------------------（3分）

解得h=4R---------------------------------------------------（2分）　

则物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的4倍。

（2）设物块与BC间的滑动摩擦力的大小为F，物块滑到C点时与小车的共同速度为v'，物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s,依题意，小车的质量为3m，BC长度为10R。由滑动摩擦定律有：  F=μmg---------（1分）

由动量守恒定律，有mv=(m+3m)v'  ------------------------------（3分）

对物块、小车分别应用动能定理，有

－F(10R+s)=mv'² －mv² ---------------------------------（3分） 

 Fs=(3m)v'²－0  ----------------------------------------（3分）

 μ＝0.3------------------------------------------------（3分）