Question

2．如图所示，水平面内的等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道CD的最低点，光滑直导轨的上端点D到A、B两点的距离均为L，D在AB边上的竖直投影点为O．一对电荷量均为-Q的点电荷分别固定于A、B两点．在D处将质量为m、电荷量为+q的小球套在轨道上（忽略它对原电场的影响），将小球由静止开始释放，已知静电力常量为k、重力加速度为g，且k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，忽略空气阻力，则（　　）

• A． 轨道上D点的场强大小为$\frac{mg}{2q}$
• B． 小球刚到达C点时，其加速度为零
• C． 小球沿直轨道CD下滑过程中，其电势能先增大后减小
• D． 小球刚到达C点时，其动能为$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgL

Answer 1

分析 根据矢量合成的方法，结合库仑定律即可求出D点的电场强度；对C点的小球进行受力分析，结合库仑定律即可求出小球在C点的加速度；根据等量同种点电荷的电场的特点分析各点的电势的变化，然后结合电势与电势能的关系分析小球的电势能的变化；根据功能关系即可求出小球到达C的动能．

解答 解：A、负电荷产生的电场指向负电荷，可知两个负电荷在D处的电场强度分别指向A与B，由于两个点电荷的电量是相等的，所以两个点电荷在D点的电场强度的大小相等，则它们的合场强的方向沿DA、DB的角平分线；
由库仑定律，A、B在D点的场强的大小：${E}_{A}={E}_{B}=\frac{kQ}{{L}^{2}}=\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
它们的合场强：E_D=E_Acos30°+E_Bcos30°=$\frac{mg}{q}$．故A错误；
B、由几何关系宽度：AO=OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$，则：∠OCD=45°
对小球进行受力分析，其受力的剖面图如图：
由于C到A、B的距离与D到A、B的距离都等于L，结合A的分析可知，C点的电场强度的大小与D点的电场强度的大小相等，方向指向O点，即：${E}_{C}={E}_{D}=\frac{mg}{q}$，
沿斜面方向：mgcos45°-F•cos45°=ma
垂直于方向：mgsin45°+Fsin45°=N
其中F是库仑力，F=qE_C=mg，
联立以上三式得：a=0．故B正确；
C、由几何关系可知，在CD的连线上，CD连线的中点处于到A、B的距离最小，电势最低，小球带正电，所以小球在CD的连线中点处的电势能最小．则小球沿直轨道CD下滑过程中，其电势能先减小后增大．故C错误；
D、由于C与D到A、B的距离都等于L，结合等量同种点电荷的电场特点可知，C点与D点的电势是相等的，所以小球从D到C的过程中电场力做功的和等于0，则只有重力做功，小球的机械能守恒，得：mg•OD=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由几何关系可得：OD=Lsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
小球的动能：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{\sqrt{3}mgL}{2}$，故D正确；
故选：BD．

点评 有关带电粒子在电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答．