Question

15．如图所示，有上下两层水平放置的平行导轨，两层导轨都足够长，电阻都不计．两导轨间距都是L=0.2m．上层导轨左端连接电阻R₂=0.25Ω，下层导轨左端与电动势E=4v，内阻不计的电池及电阻R₁=5Ω的电阻相串联．金属棒质量m=0.1kg置于下层导轨之上并与导轨垂直，可在导轨上滑动．下层导轨末端紧接着两根竖立在竖直平面内的半径为r=0.4m的绝缘材料做成的半圆形粗糙轨道．仅在上、下两层平行轨道所在区域里有一竖直向下的匀强磁场．当闭合电键K之后，金属棒由静止开始向右滑动最后成为匀速运动，滑过下层轨道后进入半圆形轨道，恰好可以通过半圆形轨道最高点以后滑入上层导轨．金属棒与下层轨道的动摩擦因数μ=0.1，上层轨道光滑，金属棒的电阻以及接触电阻匀不计，重力加速度g=10m/s²问：

（1）匀强磁场磁感应强度为多大时可使金属棒在通过半圆形轨道最低点时对轨道的压力最大．
（2）利用第1问的计算结果，求金属棒在通过半圆形轨道时因摩擦产生的内能大小．
（3）利用第1问的计算结果，求金属棒在上层轨道能滑行的距离及此过程中通过电阻R₂的电荷量大小．

Answer 1

分析 （1）要使金属棒到达最低点时对轨道的压力最大，由共点力的平衡条件可得出对应的方程；再由数学规律可求出磁感应强度；
（2）在最高点处，重力充当向心力，上升过程由功能关系可求得因摩擦而产生的内能；
（3）对滑行过程由动量定理列式可求得电荷量；同理由动量定理可求得滑行的距离．

解答 解：（1）设杆的最大速度为v_m
电路中的电流：
$I=\frac{{E-BL{v_m}}}{R_1}$
由共点力的平衡可知：
BIL=mgμ
即$（{L^2}{v_m}）•{B^2}-（L•E）•B+mgμ•R=0$
B有实数解△≥0
△=（L•E）²-4L²•v_m•mgμR≥0
即${v_m}≤\frac{E^2}{4mgμ•R}=8m/s$
即$B=\frac{5}{4}T$
（2）最高点：$mg=m\frac{v^2}{r}\;\;\;\;\;v=\sqrt{gr}$
v=2m/s
上升过程：$\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2r+{Q_f}$
即Q_f=0.4J
（3）由动量定理可知：
0-mv=-BqL
$0-mv=-\frac{{{B^2}{L^2}}}{R_2}•{x_m}$
即q=$\frac{mv}{BL}$
解得：q=0.8C；
滑行距离：x_m=$\frac{mv•{R}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
解得：x_m=0.8m
答：（1）匀强磁场磁感应强度为$\frac{5T}{4}$时可使金属棒在通过半圆形轨道最低点时对轨道的压力最大．
（2）利用第1问的计算结果，求金属棒在通过半圆形轨道时因摩擦产生的内能大小为0.4J；
（3）金属棒在上层轨道能滑行的距离为0.8m；此过程中通过电阻R₂的电荷量大小为0.8C．

点评 本题考查感应电动势中的能量及受力关系，要注意正确应用常用的物理规律进行分析，如本题中采用了动量定理及功能关系进行分析．