Question

如图所示，在直角坐标平面的第I象限内有一匀强磁场区域，磁感应强度为B，直线OA是磁场右侧的边界．在第Ⅱ象限区域，存在电场强度大小为E的水平向左的匀强电场，y轴是电场、磁场区域的分界线曲线，OM满足方程x=-ky²（k＞0）．有一带电荷量为q、质量为m的负粒子（重力不计）在曲线OM上某一点由静止释放，穿越y轴进入磁场中．
（1）求带电粒子穿越y轴时的速度与释放点纵坐标的关系式；
（2）若粒子从OM上任何位置释放，要求粒子穿过磁场区域后，都垂直于x轴射出求直线OA与x轴的夹角正切值tanθ（用题中已知物理量的符号表示）

Answer 1

分析：（1）根据动能定理，结合OM满足方程x=-ky²（k＞0）求出带电粒子穿越y轴时的速度与释放点纵坐标的关系式．
（2）粒子进入匀强磁场做匀速圆周运动，粒子都垂直x轴射出，则粒子偏转90°，从而得知粒子射出磁场的点的x坐标值为圆周运动的半径r，纵坐标为y-r，根据几何关系，结合r与速度的关系，求出直线OA与x轴的夹角正切值tanθ．

解答：解：（1）设粒子释放点的坐标为（x，y），则粒子受电场力作用作匀加速直线运动到y轴，由动能定理得，
qE（-x）=

1

2

mv2
又x=-ky²（k＞0）．
联立解得v=

2qEk m

?y，即速度v与纵坐标成正比．
（2）入射点为y坐标的粒子，其速率为v=by，b=

2qEk m

，进入磁场后做圆周运动的轨道半径为r，有：
qvB=m

v2

r

得r=

mv

qB

=

mby

qB

最后粒子都垂直x轴射出，则粒子偏转90°
所以粒子射出磁场的点的x坐标值为r
由几何关系可得，OA直线上任一点的坐标为（r，y-r）
则tanθ=

y-r

r

=

qB

mb

-1=B

q 2kmE

-1．
答：（1）带电粒子穿越y轴时的速度与释放点纵坐标的关系式为v=

2qEk m

?y．
（2）直线OA与x轴的夹角正切值tanθ=B

q 2kmE

-1．

点评：本题是带电粒子在复合场中的运动，综合运用了动能定理和牛顿第二定律，结合数学几何关系进行求解．