Question

9．两颗互不影响的行星P₁、P₂，其周围空间某位置的引力加速度a与该位置到行星中心距离r平方的倒数的关系图象如图所示．现P₁、P₂各有一颗近地卫星S₁、S₂绕其做匀速圆周运动，卫星S₁、S₂的引力加速度大小均为a₀（忽略行星的自转）．则下列说法正确的是（　　）

• A． S₁的质量比S₂的大
• B． P₁的质量比P₂的大
• C． P₁的第一宇宙速度比P₂的大
• D． P₁的平均密度比P₂的大

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律得出行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a与r的表达式，结合a-$\frac{1}{{r}^{2}}$的正比关系函数图象得出P₁、P₂的质量关系，根据密度和第一宇宙速度的表达式分析求解．

解答 解：AB、根据牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma
则得行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，由此不能判断近地卫星S₁、S₂的质量大小．
由数学知识知，a-$\frac{1}{{r}^{2}}$图象的斜率等于GM，斜率越大，GM越大，M越大，所以P₁的质量比P₂的大，故A错误．B正确．
C、设第一宇宙速度为v．则 a₀=$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{{a}_{0}R}$．由图看出，P₁的半径比P₂的半径大，a₀相等，可知P₁的第一宇宙速度比P₂的大，故C正确．
D、行星的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{{a}_{0}{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3{a}_{0}}{4πGR}$，P₁的半径比P₂的半径大，a₀相等，则P₁的平均密度比P₂的小，故D错误．
故选：BC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一思路，知道线速度、角速度、周期、加速度与轨道半径的关系，并会用这些关系式进行正确的分析和计算．