Question

13．某行星自转一周所需时间为T，在这行星上用弹簧测力计可测得某物体的重力，在该行星赤道上称得物体的重力是两极的k倍，若该行星能够看作球体，求其平均密度（万有引力恒量为G）．

Answer 1

分析 两极处的万有引力等于物体的重力，赤道处的重力等于万有引力与物体绕行星自转所需的向心力之差，结合密度的表达式整理可得．

解答 解：在两极处物体受到的重力等于行星对它的万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F，
在赤道上的物体随星球自转做圆周运动，万有引力与重力之差提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F′=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
由题意可知：F′=kF，
行星的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$；
答：行星的平均密度为$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道赤道上的物体随行星做圆周运动的向心力来源，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．