Question

19．如图所示，半圆形玻璃砖的底面MN涂有一层银，两束同种单色平行光线斜射到玻璃砖的弧面上，入射方向与水平方向成45°角，甲光线从a 点入射，沿直线射到圆心O，反射后射到圆弧上的c点，乙光线从半圆的顶点b入射，折射光线在底面反射后也射到圆弧上的c点，已知半圆的半径为R，求：
①玻璃砖对单色光的折射率；
②如果底面MN没有涂上银，试判断甲光线会不会从MN面出射．

Answer 1

分析 ①根据几何关系求出光线乙在b点折射时光的折射角正弦值，由折射定律求玻璃砖对单色光的折射率；
②由公式sinC=$\frac{1}{n}$，求出全反射临界角C，将甲光线在MN面上的入射角与C相比较，判断能否发生全反射，从而分析有无光线从MN面出射．

解答 解：①根据几何知识可得：Oe=Rcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
由△bOd∽△cde得：$\frac{bO}{ce}$=$\frac{Od}{ed}$
又 Od+ed=Oe，bO=R
解得：Od=（$\sqrt{2}$-1）R
因此光线乙在b点的折射角正弦值为：sinr=$\frac{Od}{bd}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）R}{\sqrt{{R}^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}{R}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}}$
所以玻璃砖对单色光的折射率为：n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin45°}{sinr}$=$\sqrt{2\sqrt{2}-2}$
②由于sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}$＞$\frac{1}{\sqrt{2}}$=sin45°
即临界角C＞45°，因此底面MN没有涂上银，甲光线不会在MN面上发生全反射，会从MN面出射．
答：①玻璃砖对单色光的折射率是$\sqrt{2\sqrt{2}-2}$；
②如果底面MN没有涂上银，甲光线会从MN面出射．

点评 解决本题的关键要运用几何知识求相关距离和角度，同时要掌握全反射及其产生条件，要规范作图，有利于答题．