Question

如图甲，空间存在-范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．

（1）若粒子以初速度v₁沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A（a，0）点，求v₁的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v₁），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v₀沿y轴正向发射．研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量v_x与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值v_m．

Answer 1

分析：（1）根据所受洛伦兹力情况，画出运动轨迹，求出去半径大小，即可求出速度v₁的大小；
（2）根据运动轨迹，结合数学知识求解．
（3）熟练应用功能关系和数学知识进行求解．

解答：解：（1）根据运动轨迹可以求出半径为：
r=

a

2

      ①
洛伦兹力提供向心力有：qvB=

mv2

r

      ②
联立①②解得：v1=

qBa

2m

答：v₁的大小：v1=

qBa

2m

．
（2）根据题意可知：O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x=

a

2

的直线上，半径为R．当给定一个初速度v时，有两个入射角，分别在第1、2象限，有
有2个入射角，分别在第1、2象限．由此解得：sinθ=

aqB

2mv

．
答：其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有2个，sinθ=

aqB

2mv

．
（3）粒子在运动过程中仅有电场力做功，因此在轨道的最高点处速率最大，且此处速度方向水平．用y_m表示该处的纵坐标，有：
qEym=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

…①；
由题意v_m=ky_m…②，
且k与E的大小无关，因此可利用E=0时的状况来求k，E=0时洛伦兹力充当向心力，即
qv0B=m

v 2 0

R0

，得R0=

mv0

qB

，
其中的R₀就是对应的纵坐标y₀，因此得：
k=

qB

m

，此时带入②得：
ym=

mvm

qB

，将此式带入①，整理后可得：

v

2 m

-

2E

B

vm-

v

2 0

=0，解得：vm=

E

B

±

( E B )2+ v 2 0

，舍弃负值，得：
vm=

E

B

+

( E B )2+ v 2 0

答：vm=

E

B

+

( E B )2+ v 2 0

．

点评：本题考查了带电粒子在磁场中的运动，是考查学生综合应用物理和数学能力的好题．