Question

3．如图，在xoy平面上x＜0的区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；OA是过原点的一条直线，与y轴正方向夹角为60°．在x＞0的区域有一与OA平行的匀强电场，场强大小为E．现有一质量为m，电量为q的带正电的粒子（重力不计）从直线OA上的某处P点由静止释放后，经0点进入磁场，经过一段时间后恰能垂直OA到达0A上的Q点（电场方向以及P点、Q点位置在图中均未画出）．求
（1）P点的坐标；
（2）粒子从P点释放到垂直0A到达Q点所用的时间；
（3）PQ之间的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做初速度为零的匀加速运动，进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，再次进入电场后在电场方向做匀减速运动，垂直电场方向做匀速直线运动，根据运动的合成与分解求解垂直至OA的运动轨迹，由粒子运动轨迹，根据几何关系确定粒子圆周运动的半径等物理量求解；
（2）分别求得粒子匀加速运动的时间和在磁场中圆周运动的时间以及再次进入电场后运动的时间，三者之和即为粒子从P到Q运动的总时间；
（3）粒子在磁场中洛伦兹力不做功，故粒子从PQ之间运动由动能定理根据始末速度求得PQ间的距离．

解答 解：（1）设P点的坐标为（x，y），粒子到达O点时的速度为v₁，则粒子在电场中的加速度为：
$a=\frac{qE}{m}$       ①
由粒子匀加速运动有：${v}_{1}^{2}=2a\frac{x}{sin60°}$       ②
粒子从O点进入磁场后做匀速圆周运动，设运动半径为R，由洛伦兹力提供向心力有：
$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$       ③

粒子从M点射出磁场再次进入电场，速度大小为v₁，方向与y轴负方向成60°角，设到达Q点时的速度为v₂，则
v₂=v₁sin60°            ④
又由几何关系可知，OM间的距离为
d=2Rsin60°      ⑤
设粒子从M到Q点的所用时间为t₃，则
dsin60°=v₂t₃    ⑥
v₁cos60°=at₃               ⑦
联立①-⑦式解得：x=$\frac{3\sqrt{3}mE}{q{B}^{2}}$       ⑧
${t}_{3}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$       ⑨
由几何关系可得：$y=\frac{x}{tan60°}$=$\frac{3mE}{q{B}^{2}}$
即P点的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}mE}{q{B}^{2}}，\frac{3mE}{q{B}^{2}}$）
（2）设粒子从P点到O点的时间为t₁，从O点到M点所用的时间为t₂，则
$\frac{x}{sin60°}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
由①和⑧式可得${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$
粒子从O进入磁场后做匀速圆周运动的周期为
$T=\frac{2πm}{qB}$
有${t}_{2}=\frac{2}{3}T=\frac{4πm}{3qB}$
所以粒子从P点释放到垂直OA经过Q点所用时间为
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2\sqrt{3}m}{qB}+\frac{4πm}{3qB}+\frac{\sqrt{3}m}{qB}$=$\frac{（4π+9\sqrt{3}）m}{3qB}$
（3）由①④⑦⑨式得${v}_{2}=\frac{3E}{B}$
设PQ之间的距离为l，在整个运动过程中，由动能定理得：
$qEl=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：l=$\frac{9mE}{2q{B}^{2}}$
答：（1）P点的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}mE}{q{B}^{2}}，\frac{3mE}{q{B}^{2}}$）；
（2）粒子从P点释放到垂直0A到达Q点所用的时间为$\frac{（4π+9\sqrt{3}）m}{3qB}$；
（3）PQ之间的距离为$\frac{9mE}{2q{B}^{2}}$．

点评 掌握粒子在磁场中圆周运动的周期公式和半径公式，会计算粒子在磁场中运动的时间，能根据动能定理和运动的合成与分解求解曲线运动问题，综合性较强，难度较大．