Question

17．如图所示，电阻不计、间距L=1m、足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=37°角，导轨平面矩形区域efhg内分布着磁感应强度的大小B=1T，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，边界ef、gh之间的距离D=1.4m．现将质量m=0.1kg、电阻R=$\frac{5}{3}$Ω的导体棒P、Q相隔△t=0.2s先后从导轨顶端由静止自由释放，P、Q在导轨上运动时始终与导轨垂直且接触良好，P进入磁场时恰好匀速运动，Q穿出磁场时速度为2.8m/s．已知重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，求
（1）导轨顶端与磁场上边界ef之间的距离S；
（2）从导体棒P释放到Q穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热Q_总．

Answer 1

分析 （1）P进入磁场时恰好匀速运动，根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力公式推导出P所受的安培力与速度的关系，再由P受力平衡，求出P进入磁场时的速度，最后由牛顿第二定律和运动学公式结合求解S．
（2）分析两棒的运动情况：P进入磁场以速度v₁匀速运动△t=0.2s后，Q恰好进入磁场，速度也为v₁=2m/s．之后，P、Q以加速度a匀加速运动，P出磁场以后继续以加速度a匀加速运动，而Q在安培力作用下减速运动，直到穿出磁场区域．分段求解回路中产生的热量，从而得到总热量．

解答 解：（1）设P进磁场时的速度为v₁，
由法拉第电磁感应定律 E=BLv₁         
由闭合电路欧姆定律 I=$\frac{E}{2R}$         
P所受的安培力 F=BIL                    
P匀速运动，则有 F=mgsinθ            
联立解得 v₁=2m/s                     
由牛顿第二定律 a=gsinθ              
由运动学公式 S=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$                
解得 S=$\frac{1}{3}$m≈0.33m                
（2）P进入磁场以速度v₁匀速运动△t=0.2s后，Q恰好进入磁场，速度也为v₁=2m/s．之后，P、Q以加速度a匀加速运动，P出磁场以后继续以加速度a匀加速运动，而Q在安培力作用下减速运动，直到穿出磁场区域．
P在磁场中匀速运动的位移 x₁=v₁t                    
此过程回路产生的焦耳热 Q₁=mgx₁sinθ              
P、Q一起匀加速运动的位移 x₂=D-x₁                  
设P刚好出磁场时，P、Q的速度为v，由运动学公式
 v²-v₁²=2ax₂                                         
解得 v=4m/s                                         
Q出磁场时的速度为v₂=2.8m/s，运动的位移 x₃=x₁．       
Q减速运动过程中回路产生的焦耳热
  Q₂=mgx₃sinθ+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$                     
所以，全过程回路中的焦耳热为Q_总=Q₁+Q₂=0.888J     
答：
（1）导轨顶端与磁场上边界ef之间的距离S为0.33m；
（2）从导体棒P释放到Q穿出磁场的过程，回路中产生的焦耳热Q_总为0.888J．

点评 本题考查电磁感应现象的动力学与能量问题．关键要正确分析导体棒的运动情况，确定其受力情况，同时要抓住两个导体棒之间的关系，比较位移关系等分析．