Question

如图所示，圆心为坐标原点、半径为R的圆将xoy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ和圆外区域Ⅱ．区域Ⅰ内有方向垂直于xoy平面的匀强磁场B₁．平行于x轴的荧光屏垂直于xoy平面，放置在坐标y=-2.2R的位置．一束质量为m电荷量为q动能为E₀的带正电粒子从坐标为（-R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部打在荧光屏上坐标为（0，-2.2R）的M点，且此时，若将荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变．若在区域Ⅱ内加上方向垂直于xoy平面的匀强磁场B₂，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为（0.4R，-2.2R）的N点．求
（1）打在M点和N点的粒子运动速度v₁、v₂的大小．
（2）在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向．
（3）若将区域Ⅱ中的磁场撤去，换成平行于x轴的匀强电场，仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ的粒子恰好也打在荧光屏上的N点，则电场的场强为多大？

Answer 1

（1）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为E₀，速度v₁、v₂大小相等，设为v，由E0=

1

2

mv2可得 v=

2E0 m

（2）如图所示，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向打在M点，轨迹圆心是o₁点，半径为r₁=R
区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O₂点，半径为r₂，
由几何关系得r₂²=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²
解得r₂=2R
由qvB=m

v2

r

得B=

mv

qr

故B1=

2mE0

qR

，方向垂直xoy平面向外．
B2=

2mE0

2qR

，方向垂直xoy平面向里．
（3）区域Ⅱ中换成匀强电场后，粒子从C点进入电场做类平抛运动，则有1.2R=vt，
0.4R=

1

2

qE

m

t2
解得场强 E=

10E0

9qR

．