Question

9．如图所示，两根平行金属导轨a、b平行放置在斜面M上，导轨之间的距离为L，在导轨的下方连接有一个阻值为R的电阻，两导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，有一个质量为m的金属杆垂直置于两导轨之上，与两导轨接触，但无摩擦，金属杆在导轨间的电阻为R₀，将金属杆系在一个轻质细线上，细线跨过固定在斜面体顶端的一光滑定滑轮与一质量为4m的物块相连，一开始金属杆位于距离地面高为$\frac{{h}_{0}}{2}$处，将物块由静止释放，物块开始下落，物块下落h高度后，与金属杆一起做匀速运动．设一开始磁场的磁感应强度为B₀，已知斜面倾角为θ=30°，重力加速度为g，试求：
（1）金属杆做匀速运动的速度；
（2）物块下落h的过程中，金属杆上产生的热量和通过R的电荷量；
（3）设金属杆做匀速运动的速度为v₀，从物块下滑h后开始计时，设此时t=0，从t=0开始，由于磁场减弱，R中无电流通过，试写出B随t变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出金属杆受到的安培力，然后应用平衡条件求出金属杆的最大速度．
（2）由能量守恒定律可以求出系统产生的焦耳热，然后求出金属杆上产生的热量；根据电流定义式的变形公式可以求出电荷量．
（3）穿过闭合回路的磁通量不变，电路不产生感应电流，根据感应电流产生的条件与磁通量的计算公式分析答题．

解答 解：（1）金属杆匀速运动时受到的安培力：F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+{R}_{0}}$，
对金属杆，由平衡条件得：mgsinθ+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+{R}_{0}}$=T，
对物块，由平衡条件得：4mg=T，
解得：v=$\frac{7mg（R+{R}_{0}）}{2{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）由能量守恒定律得：
4mgh-mghsin30°=$\frac{1}{2}$•4mv²+$\frac{1}{2}$mv²+Q，
金属杆上产生的热量：Q₀=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+R}$Q，
解得：Q₀=$\frac{7mgh{R}_{0}}{2（R+{R}_{0}）}$-$\frac{245{m}^{3}{g}^{2}（R+{R}_{0}）^{2}}{8{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$；
通过R的电荷量：q=It=$\frac{△Φ}{R+{R}_{0}}$=$\frac{{B}_{0}Lh}{R+{R}_{0}}$；
（3）穿过闭合回路的磁通量不变时不产生感应电流，
（$\frac{{h}_{0}}{2sin30°}$+h）LB₀=（$\frac{{h}_{0}}{2sin30°}$+h+h′）LB，
其中：h′=v₀t+$\frac{1}{2}$at²，加速度：a=$\frac{4mg-mgsin30°}{4m+m}$=$\frac{7}{10}$g，
解得：B=$\frac{（{h}_{0}+h）{B}_{0}}{{h}_{0}+h+{v}_{0}t+\frac{7}{20}g{t}^{2}}$=$\frac{20（{h}_{0}+h）{B}_{0}}{20{h}_{0}+20h+20{v}_{0}t+7g{t}^{2}}$；
答：（1）金属杆做匀速运动的速度为$\frac{7mg（R+{R}_{0}）}{2{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）物块下落h的过程中，金属杆上产生的热量为$\frac{7mgh{R}_{0}}{2（R+{R}_{0}）}$-$\frac{245{m}^{3}{g}^{2}（R+{R}_{0}）^{2}}{8{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$，通过R的电荷量为$\frac{{B}_{0}Lh}{R+{R}_{0}}$；
（3）R中无电流通过，试写出B随t变化的关系式为：B=$\frac{20（{h}_{0}+h）{B}_{0}}{20{h}_{0}+20h+20{v}_{0}t+7g{t}^{2}}$．

点评 本题是电磁感应与力学相结合的综合题，分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，知道感应电流产生的条件是求解最后一问的前提；应用安培力公式、平衡条件、能量守恒定律与磁通量的计算公式即可解题．