Question

19．地球和月球可以看作一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，根据大爆炸理论，两者间的距离将缓慢增大，设想随着科技不断发展，若干年后，人们将不断地把人类和物资从地球搬运到月球上，导致月球质量将不断增大，而地球质量将不断减小，但总质量仍然不变．关于若干年后与当今相比，下列说法中正确的是（　　）

• A． 设双星做圆周运动的角速度将减小
• B． 设双星做圆周运动的角速度将增大
• C． 月球做圆周运动的轨道半径将增大
• D． 地球做圆周运动的轨道半径将增大

Answer 1

分析 双星绕两者连线的一点做匀速圆周运动，由相互之间万有引力提供向心力，根据万有引力定律、牛顿第二定律和向心力进行分析．

解答 解：AB、设月球质量为m₁，轨道半径为r₁，地球质量为m₂，轨道半径为r₂．双星间的距离为L．转移的质量为△m．
根据万有引力提供向心力对m₁：$G\frac{（{m}_{1}^{\;}+△m）（{m}_{2}^{\;}-△m）}{{L}_{\;}^{2}}$=（m₁+△m）ω²r₁…①
对m₂：$G\frac{（{m}_{1}^{\;}+△m）（{m}_{2}^{\;}-△m）}{{L}_{\;}^{2}}$=（m₂-△m）ω²r₂…②
由①+②得：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}{{L}_{\;}^{3}}}$，总质量m₁+m₂不变，两者距离L增大，则角速度ω变小．故A正确、B错误．
C、由①式得${r}_{1}^{\;}=\frac{G（{m}_{2}^{\;}-△m）}{{ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$，把ω的值代入得：${r}_{1}^{\;}=\frac{G（{m}_{2}^{\;}-△m）}{\frac{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}{{L}_{\;}^{3}}{L}_{\;}^{2}}$=$\frac{{m}_{2}^{\;}-△m}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
因为地球质量在减小，L增大，所以月球做圆周运动的轨道半径变化情况无法判断，故C错误
D、由②式可得${r}_{2}^{\;}=\frac{G（{m}_{1}^{\;}+△m）}{{ω}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$，把ω的值代入得：${r}_{2}^{\;}=\frac{G（{m}_{1}^{\;}+△m）}{\frac{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}{{L}_{\;}^{3}}{L}_{\;}^{2}}$=$\frac{{m}_{1}^{\;}+△m}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$，
因为，L增大，故r₂增大．即地球做圆周运动的轨道半径增大，故D正确．
故选：AD

点评 本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，运用牛顿第二定律采用隔离法进行研究．