Question

7．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，则下述正确的是（　　）

• A． 此球的最大速率是$\sqrt{5}$v_c
• B． 小球在任一直径两端点上的动能之和相等
• C． 小球到达C点时对轨道的压力是$\frac{4mg}{5}$
• D． 小球沿圆轨道绕行一周所用的时间大于π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 小球运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律和牛顿第二定律结合求解和分析．

解答 解：A、当此球运动到最低点时速度最大，设为v，根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{\;}}^{2}$，又v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，解得：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$，故A错误．
B、设小球在任一直径两端点上的速率分别为v₁和v₂，相对于圆心的高度为h．根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$+mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$-mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$+mgL
可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$=m$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$+2mgL=定值，故B正确．
C、在C点，设轨道对小球有向下的作用力，由牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1}{5}$mg，故C错误．
D、小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于T=$\frac{2πR}{{v}_{C}}=π\sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D错误．
故选：B．

点评 本题关键要掌握机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键搞清向心力的来源，运用牛顿定律进行求解．