Question

19．长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，平行金属板的右侧有如图所示的匀强磁场，一个带电为+q，质量为m的带电粒子，以初速度v₀紧贴上板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下极板边缘射出，射出时末速度恰与下板成30°角，出磁场时刚好紧贴上板右边缘，不计粒子重力，求：
（1）粒子从下板边缘射出电场时的竖直速度大小及两板间的距离；
（2）匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成与分解可知粒子的末速度的大小；根据运动学的公式即可求出两极板之间的距离；
（2）将粒子的运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速直线运动，则由运动的合成与分解可求得电场强度；由动能定理可求得两板间的距离．

解答 解：（1）带电粒子在电场中受到电场力的作用发生偏转，做类平抛运动．
竖直方向：离开电场时的速度为：v_y=v₀tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
粒子发生偏转的位移为：y=d=$\frac{{v}_{y}}{2}•t$
水平方向：粒子匀速运动的时间为：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
联立以上几式解得：d=$\frac{\sqrt{3}L}{6}$
（2）在电场中粒子受到电场力，由牛顿第二定律得：qE=ma
根据运动学公式有：v_y=at
又因为粒子运动时间为：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
所以：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3qL}$
带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：r=$\frac{mv}{qB}$
粒子离开电场时的速度为：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
粒子在磁场中的运动轨迹如右图所示；
由几何关系得：$\frac{d}{2}=r•cos30°$
解得：B=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{qL}$
答：（1）粒子从下板边缘射出电场时的竖直速度大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，两板间的距离为$\frac{\sqrt{3}L}{6}$；
（2）匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度分别为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3qL}$和$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{qL}$．

点评 本题考查带电粒子在电场中、以及在磁场中的运动，若垂直电场线进入则做类平抛运动，要将运动分解为沿电场线和垂直于电场线两个方向进行分析，利用直线运动的规律进行求解．