Question

（2013?海淀区一模）如图所示，光滑、足够长、不计电阻、轨道间距为l的平行金属导轨MN、PQ，水平放在竖直向下的磁感应强度不同的两个相邻的匀强磁场中，左半部分为Ι匀强磁场区，磁感应强度为B₁；右半部分为Ⅱ匀强磁场区，磁感应强度为B₂，且B₁=2B₂．在Ι匀强磁场区的左边界垂直于导轨放置一质量为m、电阻为R₁的金属棒a，在Ι匀强磁场区的某一位置，垂直于导轨放置另一质量也为m、电阻为R₂的金属棒b．开始时b静止，给a一个向右冲量I后a、b开始运动．设运动过程中，两金属棒总是与导轨垂直．
（1）求金属棒a受到冲量后的瞬间通过金属导轨的感应电流；
（2）设金属棒b在运动到Ι匀强磁场区的右边界前已经达到最大速度，求金属棒b在Ι匀强磁场区中的最大速度值；
（3）金属棒b进入Ⅱ匀强磁场区后，金属棒b再次达到匀速运动状态，设这时金属棒a仍然在Ι匀强磁场区中．求金属棒b进入Ⅱ匀强磁场区后的运动过程中金属棒a、b中产生的总焦耳热．

Answer 1

分析：（1）导体棒瞬间得到一个初速度，回路中产生感应电流，由闭合电路欧姆定律求解电流大小
（2）选ab两棒组成的系统为研究对象，可得水平方向动量守恒，可解b棒的最大速度值
（3）金属棒b进入Ⅱ匀强磁场区后，穿过回路的磁通量减小，回路中产生感应电流，两棒均受安培力作用，使a减速，b加速，最终两棒产生的感应电动势相等时，两棒改作匀速直线运动，此过程中产生的焦耳热等于两棒动能的减少量

解答：解：（1）设金属棒a受到冲量I时的速度为v₀，金属棒a产生的感应电动势为E，金属轨道中的电流为i，则
由动量定理得：I=mv₀
由法拉第电磁感应定律得：E=B₁lv₀
i=

E

R1+R2

即：i=

B1lI

(R1+R2)m

（2）金属棒a和金属棒b在左部分磁场中运动过程中所受安培力大小相等、方向相反，合力为零，故a、b组成的，水平方向动量守恒．
金属棒a和金属棒b在Ι匀强磁场区中运动过程中达到的最大速度v_m时，二金属棒速度相等，感应电流为零，二金属棒匀速运动，根据动量守恒定律有
mv₀=2mv_m
v_m=

I

2m

（3）金属棒b进入Ⅱ匀强磁场时，设金属棒a的感应电动势为E₁，金属棒b的感应电动势为E₂，
E₁=B₁lv_m
E₂=B₂lv_m
因为   B₁=2 B₂
所以   E₁=2 E₂
所以，金属棒b一进入Ⅱ匀强磁场，电流立即出现，在安培力作用下金属棒a做减速运动，金属棒b做加速运动．设金属棒a在Ι匀强磁场区运动速度从v_m变化到最小速度v_a，所用时间为t，金属棒b在Ⅱ匀强磁场区运动速度从v_m变化到最大速度为v_b，所用时间也为t，此后金属棒a、b都匀速运动，则
B₁lv_a=B₂lv_b
即 v_b=2v_a
设在t时间内通过金属棒a、b的电流平均值为

.

I

根据动量定理有
B₁

.

I

lt=mv_a-mv_m  方向向左
B₂

.

I

lt=mv_b-mv_m  方向向右
解得：va=

3

5

vm…（1分）vb=

6

5

vm
设金属棒b进入Ⅱ匀强磁场后，金属棒a、b产生的总焦耳热为Q，根据能量守恒，有：
Q=△E_K=2×

1

2

mv

2 m

-

1

2

mv

2 a

-

1

2

mv

2 b

整理得：Q=

I2

40m

答：（1）金属棒a受到冲量后的瞬间通过金属导轨的感应电流为

B1lI

(R1+R2)m

（2）b棒的最大速度值

I

2m

（3）产生的总焦耳热

I2

40m

点评：本题考查内容丰富，动量定理、动量守恒定律、能量守恒定律综合应用，是一道好题，有一定难度，值得研究