Question

9．有两颗行星A和B（A和B之间的相互作用不计），它们各有一颗靠近其表面的卫星．若这两颗卫星的周期相等，由此可知（　　）

• A． 两颗卫星的线速度相等
• B． 行星A、B的质量一定相等
• C． 行星A、B的密度一定相等
• D． 行星A、B表面重力加速度之比等于它们的半径之比

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得到两个卫星的线速度和行星质量的表达式，再分析卫星线速度和行星质量的大小．得出密度的表达式，判断密度是否相等．
由万有引力等于重力得出行星表面的重力加速度，从而得出重力加速度之比．

解答 解：A、由v=$\frac{2πR}{T}$，T相同，但两颗行星的半径不一定相等，卫星的轨道半径R不一定相同，则线速度不一定相等．故A错误．
B、对于任一卫星和行星系统，由万有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
则得行星的质量为：
M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
因为行星的半径不一定相等，则行星的质量不一定相等．故B错误．
C、行星的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，T相同，则行星的密度相同，故C正确．
D、行星A和B表面的重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，两个卫星的周期相等，但行星的半径不一定相等，则行星表面的重力加速不一定相等，故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个基本思路，并能灵活选择向心力公式的形式进行求解．