Question

【题目】如图所示，在竖直平面内的光滑固定轨道由四分之一圆弧AB和二分之一圆弧BC组成，两者在最低点B平滑连接．过BC圆弧的圆心O有厚度不计的水平挡板和竖直挡板各一块，挡板与圆弧轨道之间有宽度很小的缝隙．AB弧的半径为2R，BC弧的半径为R.一直径略小于缝宽的小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．不考虑小球撞到挡板以后的反弹．

(1)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．

(2)若小球能到达C点，求小球在B、C两点的动能之比；若小球不能到达C点，请求出小球至少从距A点多高处由静止开始自由下落才能够到达C点．

(3)使小球从A点正上方不同高度处自由落下进入轨道，小球在水平挡板上的落点到O点的距离x会随小球开始下落时离A点的高度h而变化，请在图中画出x2h图象．(写出计算过程)

Answer 1

【答案】(1) (2) 4∶1 (3) 过程见解析

【解析】

（1）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0

设小球的质量为m，在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有

N＋mg＝

小球由开始下落至运动到C点过程中，机械能守恒，有

由两式可知

N＝mg

小球可以沿轨道运动到C点.

（2）小球在C点的动能为EkC，由机械能守恒得

EkC＝

设小球在B点的动能为EkB，同理有

EkB＝

得

EkB∶EkC＝4∶1．

（3）小球自由落下，经ABC圆弧轨道到达C点后做平抛运动。由动能定理得：

由平抛运动的规律得：

x=vCt

解得：

因为，且 所以

x2h图象如图所示：