Question

如图所示，I、Ⅱ为两匀强磁场区，I区域的磁场方向垂直纸面向里，Ⅱ区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B，两区域中间为宽s的无磁场区Ⅱ．有一粗细均匀的边长为L（L＞s）、电阻为R的正方形金属框abcd置于I区域，ab边与磁场边界平行，现拉着金属框以速度v向右匀速移动．求：
（1）分别求出当ab边刚进入中央无磁场区Ⅱ，和刚进入磁场区Ⅲ时，通过ab边的电流的大小和方向．
（2）求金属框从区域I完全进入区域Ⅲ过程中拉力所做的功．
（3）若L=s且ab边初始位置到中央无磁场区Ⅱ左边界距离也为L，画出从开始到cd边刚进入磁场区Ⅲ的过程中的U_ab-t图象．

Answer 1

分析：（1）当ab边刚进入中央无磁场区Ⅱ，cd边在磁场区 内切割磁感线产生感应电动势，根据E=BLv和欧姆定律求出感应电流，由右手定则判断感应电流的方向；ab边刚进入磁场区Ⅱ时，ab边、cd边都切割磁感线产生感应电动势，运用同样的方法求解感应电流的大小和方向．
（2）金属框匀速运动中，拉力与安培力平衡，根据F_A=

B2L2v

R

求出安培力，即得到拉力大小，再由功的公式求解拉力做功．
（3）根据U_ab与感应电动势的关系，分段求出U_ab的大小，再画出电压图象．

解答：解：（1）ab边刚进入中央无磁均区Ⅱ时，cd边在磁场区 内切割磁感线产生感应电动势E=BLv，感应电流大小为I₁=

BLv

R

，由右手定则，方向badcb．
ab边刚进入磁场区Ⅱ时，ab边、cd边都切割磁感线产生感应电动势且都为顺时针方向，大小都为BLv，所以感应电流为I₂=2

BLv

R

，方向badcb．
（2）在ab边穿过宽为s的Ⅱ区过程中，cd边受安培力F₁=BI₁L=

B2L2v

R

，由于匀速运动，拉力大小等于安培力，所以拉力做功W₁=F₁s=

B2L2v

R

s．
当ab边进入Ⅲ区、cd边未进入Ⅱ区过程中，ab边、cd边都受安培F₂=BI₂L=2

B2L2v

R

，匀速拉动外力应等于2F₂，通过距离为（L-s），故拉力做功为W₂=F₂s=2F₂（L-s）=

4B2L2v(L-s)

R

．
当cd边通过Ⅱ区过程中，只有ab边受安培力，且F₃=F₂，距离为s，拉力做功为W₃=F₃s=

B2L2v

R

s．
当线圈完全进入Ⅲ区后，无感应电流，不受安培力，拉力为零，不做功，所以总功为
W=W₁+W₂+W₃=

4B2L2v(L- s 2 )

R

（3）若L=s时，分过程求出U_ab．
①初始位置到中央无磁场区Ⅱ左边界的过程，线框的磁通量不变，没有感应电流产生，由右手定则判断得：b的电势高于a的电势，则U_ab=-BLv，运动时间为t=

L

v

；
②ab边刚进入中央无磁场区Ⅱ，cd边在磁场区内，由右手定则判断得：b的电势高于a的电势，U_ab=-

1

4

BLv，运动时间为t=

L

v

；
③ab边刚进入磁场区Ⅱ时，cd边在无场区内，由右手定则判断得：b的电势低于a的电势，U_ab=

3

4

BLv，运动时间为t=

L

v

；
画出U_ab-t图象如图．
答：
（1）当ab边刚进入中央无磁场区Ⅱ时感应电流大小为

BLv

R

，方向badcb．刚进入磁场区Ⅲ时，通过ab边的电流大小为2

BLv

R

，方向badcb．
（2）求金属框从区域I完全进入区域Ⅲ过程中拉力所做的功为

4B2L2v(L- s 2 )

R

．
（3）画出U_ab-t图象如图．

点评：本题中安培力的分析和计算是关键，容易出错的地方是：当两个边切割磁感线时，电路中有两个电动势，总电动势为2BLv．同时要注意U_ab有正负，要根据右手定则或楞次定律判断a、b两点电势高低确定其正负．