Question

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=2m，整个轨道除AB段以外都是光滑的，如图所示．现有一个质量m=0.1kg的小物块以初速度v_o=4m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.08）．
求：
（1）物块的抛出点和A点的高度差；
（2）物块到达B点时速度大小；
（3）物块离开D点后会从空中返回到圆轨道和斜面，在此后的整个运动过程中；物块通过C点时对轨道的最小压力为多大？

Answer 1

分析：（1）物块从抛出点到A点做平抛运动，到A点时速度方向恰沿AB方向，则速度方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角37°，根据tan37°=

vy

v0

，及竖直方向的运动规律v_y=

2gh

，可求出抛出点和A点的高度差；
（2）研究A到B过程，根据动能定理求出物块到达B点时速度大小；
（3）由于机械能损失，物块最终在B与其等高的圆弧轨道上来回运动，经过C点的压力最小，根据机械能守恒定律求出经过C点的速度，根据牛顿第二、第三定律求出物块通过C点时对轨道的最小压力．

解答：解：（1）设物块物块的抛出点和A点的度差为h，到达A点时竖直方向的速度大小为v_y，则由题意得
  tan37°=

vy

v0

，
解得，v_y=v₀tan37°
又v_y=

2gh

，
联立解得 h=0.45m
（2）物块到达A点的速度为v_A=

v 2 0 + v 2 y

=5m/s
从A到B，根据动能定理得
mgLsin37°-μmgcos37°?L=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

解得，v_B=

33

m/s
（3）物块最后在B与其等高的圆弧轨道上来回运动，经过C点的压力最小，
由B到C过程，根据机械能守恒定律
   mgR（1-cos37°）=

1

2

m

v

2 C

解得，v_C=

2

m/s
由牛顿第二定律得：
  N-mg=m

v 2 C

R

解得，N=1.4N
由牛顿第三定律得，物块通过C点时对轨道的最小压力为N′=N=1.4N．
答：（1）物块的抛出点和A点的高度差是0.45m；
（2）物块到达B点时速度大小是

33

m/s；
（3）物块通过C点时对轨道的最小压力为1.4N

点评：本题是平抛运动、动能定理、机械能守恒与牛顿定律的综合应用，难点在于分析过程，得到物块最后的运动状态．