Question

4．如图所示，绷紧的传送带在电动机的带动下，始终保持v₀=2m/s的速度匀速行驶，传送带与水平地面的夹角θ=30°．现把一质量m=10kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带送至h=2m的高处，已知工件与传送带间动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g=10m/s²．求：
（1）试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？
（2）在工件从传送带底端运动至h=2m高处的过程中，摩擦力对工件做了多少功？
（3）由于传送工件，电动机多消耗的能量△E为多少？

Answer 1

分析 （1）要分析工件的运动情况，首先分析工件的受力情况，工件受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力作用，合力沿斜面向上，物体加速运动，由牛顿第二定律求出加速度．由运动学公式求出物体速度达到与传送带相同时通过的位移，再根据此位移与传送带长度的关系，分析接下来工件的运动情况；
（2）分析两个过程，根据功的公式，分别求出摩擦力对物体所做的功．
（3）多消耗的能量转化为工件的动能和重力势能以及摩擦产生的内能，然后求和即可．

解答 解：（1）工件轻轻地放在传送带底端后，受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力作用，由牛顿第二定律得知，上滑过程中加速度为：
μmgcosθ-mgsinθ=ma   
得：a=g（μcosθ-sinθ）=2.5m/s²
设工件加速到v₀=2m/s时运动的位移为x，则有：
2a x=v₀²  得 x=0.8m
可得：x＜$\frac{h}{sinθ}$=4m
所以工件在传送带上先匀加速运动后匀速运动．
（2）匀加速运动过程中，动摩擦力对工件做功为：W₁=μmgcosθ•x=60J
匀速运动后，工件受到的静摩擦力大小为：f=mgsinθ
通过的位移为：x′=$\frac{h}{sin30°}$-x=4m-0.8=3.2m
匀速运动过程中，摩擦力对工件做功为：W₂=mgsinθ•x′=160J
所以摩擦力对工件做的总功为：W=W₁+W₂=220J
（3）多消耗的能量转化为工件的动能和重力势能以及摩擦产生的内能
其中：Q=F_f•x_相对=μmgcosθ•（2x-x）=60J
所以：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgh+Q$
代入数据得：△E=280J
答：（1）工件在传送带上先匀加速运动后匀速运动；
（2）在工件从传送带底端运动至h=2m高处的过程中，摩擦力对工件做功220J；
（3）由于传送工件，电动机多消耗的能量△E为280J．

点评 本题的解题关键是根据受力情况分析工件的运动情况，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求解位移，即可轻松求出功．