Question

8．如图所示，水平轨道与竖直平面内的光滑半圆形轨道平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.40m．一轻质弹簧的左端固定在墙M上，右端连接一个质量m=0.20kg的小滑块．开始时滑块静止在P点，弹簧正好处于原长．现水平向左推滑块压缩弹簧，使弹簧具有一定的弹性势能E_p，然后释放滑块，运动到最高点A时的速度v_A=3.0m/s．已知水平轨道MP部分是光滑的，滑块与水平轨道PB间的动摩擦因数μ=0.25，PB=2.0m，取g=10m/s²．求：
（1）滑块在圆弧轨道起点B的速度v_B．
（2）滑块由A点抛出后，落地点与A点间的水平距离x．
（3）若要求滑块过圆弧轨道最高点A后，落在水平面PB段且最远不超过P点，求弹簧处于压缩状态时具有的弹性势能E_p的范围．

Answer 1

分析 （1）滑块从B运动到A的过程，满足机械能守恒，由此求解速度v_B．
（2）滑块从A点飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可求得水平距离x．
（3）当滑块经过圆轨道时，刚好通过最高点A时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律A点的最小速度，从而得到弹性势能E_p的最小值．当滑块落在P点时，由平抛运动规律求出滑块通过A点的速度，由能量守恒求出弹性势能E_p的最大值，即得到弹性势能E_p的范围．

解答 解：（1）对滑块，由B到A过程，根据机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR
代入数据解得：v_B=5 m/s  
（2）滑块从A点抛出后，满足：
水平方向：x=v_At
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入数据解得：x=1.2 m   
（3）①当滑块经过圆轨道时，刚好通过最高点A，在A点 由牛顿第二定律由：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
代入数据得最小速度为：v₁=2 m/s   
过A点后，做平抛运动，有：
x₁=v₁t，
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入数据得，落地时间为：t=0.4 s
最小位移为：x₁=0.8 m＜1.2 m   
对于全程，由功能关系得：
-μmgL=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-E_p1
代入数据，得弹簧弹性势能最小值为：E_p1=3 J 
②当滑块过A点后，做平抛运动，时间t=0.4 s不变，
落地点在最远位置P点  x₂=v₂t
带入数据得 v₂=5 m/s  
对于全程，由功能关系得
-μmgL=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-E_p2
代入数据，得弹簧弹性势能最大值  E_p2=5.1 J   
所以，弹簧的弹性势能范围为：3 J≤E_p≤5.1 J    
答：（1）滑块在圆弧轨道起点B的速度v_B为5m/s．
（2）滑块由A点抛出后，落地点与A点间的水平距离x是1.2m．
（3）弹簧处于压缩状态时具有的弹性势能E_p的范围为3 J≤E_p≤5.1J．

点评 本题考查平抛、动能定理及功能关系，要注意正确分析物理过程，并做好受力分析，明确能量转化的关系，选择正确的物理规律求解即可．