Question

（2008?江苏）（平常练习改变）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O静止释放，小球的运动曲线如图所示．已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到z轴距离的2倍，重力加速度为g．求：
（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v．
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离y_m．
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞mg/q）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率v_m．

Answer 1

分析：（1）首先分析，在任意时刻，小球都只受到重力和洛伦兹力．洛伦兹力始终方向与速度方向垂直，不做功，所以从原点到最低点只有重力做功，根据动能定理即可求得速度；
（2）设小球在最低点的速度为v，到x轴距离为h，最低点的曲率半径为2h．对于小球运动到最低点时，小球的向心力由洛伦兹力与重力的合力提供，列出向心力公式，再结合第一问中的速度就可以求出小球在运动过程中第一次下降的最大距离y_m；
（3）加入电场后，结合动能定理和圆周运动向心力的公式即可以求得小球从O静止释放后获得的最大速率v_m．

解答：解析：（1）洛仑兹力不做功，由动能定理得，
           mgy=

1

2

mv²   ①
           得  v=

2gy

 ②
（2）设在最大距离y_m处的速率为v_m，根据圆周运动有，qv_mB-mg=m 

vm2

R

 ③
且由②知   vm=

2gym

④
由③④及R=2y_m得   ym=

2m2g

q2B2

  ⑤
（3）小球运动如图所示，
由动能定理 （qE-mg）|y_m|=

1

2

mvm2 ⑥
由圆周运动  qv_mB+mg-qE=m 

vm2

R

 ⑦
且由⑥⑦及R=2|y_m|解得
v_m=

2

qE

(qE-mg)．

点评：本题涉及到的知识点有洛伦兹力的性质（无论何时都不做功）、机械能守恒的条件与计算、圆周运动的计算，对同学们分析问题的能力要求较高，属于中档偏上的题目．