Question

如图所示，光滑轨道的DP段为水平轨道，PQ段为半径是R的竖直半圆轨道，半圆轨道的下端与水平的轨道的右端相切于P点，一轻质弹簧左端A固定，另一端拴接一个质量为m的小球B，质量也为m的小球C靠在B球的右侧，现用外力作用在C上，使弹簧被压缩了0.4R（弹簧仍在弹性限度内）．这时小球静止于距离P端3R的水平轨道上，若撤去外力，C球运动到轨道的最高点Q后又恰好落回到原出发点．已知重力加速度为g．求

（1）小球C运动到Q点时对轨道的压力多大？
（2）撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能E_P是多少？

Answer 1

分析：（1））弹簧和B、C两个球的组成的系统能量守恒，B、C脱离弹簧时，弹簧的弹性势能转化为B、C球的动能，C球在运动的过程中机械能守恒，离开Q点之后C球做的是平抛运动，由平抛运动的规律可以求得小球在Q点的速度的大小，从而由牛顿第二定律可以求得C球到Q点时对轨道的压力．
（2）撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能作用下，B、C两球获得动能，因此借助平抛运动求出C球抛出速度，再由机械能守恒算出小球C被弹出的速度，从而根据能量守恒，确定撤去外力时弹簧的弹性势能．

解答：解：（1）设小球经过最高点Q时的速度为v，
由平抛规律有：竖直方向 2R=

1

2

gt2
水平方向：3R=vt
联立两式得：v=

3

2

gR

小球C在最高点，由牛顿第二定律得：FN+mg=m

v2

R

解得：FN=

5

4

mg
（2）设小球C离开小球B时的速度为v₀，只有重力做功，小球机械能守恒．
由机械能守恒有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2+2mgR
弹簧恢复到原长时脱离，则由能量守恒有：EP=

1

2

×2m

v

2 0

联立上述各式得：EP=

5

2

mgR
答：（1）小球C运动到Q点时对轨道的压力

5

4

mg；
（2）撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能E_P是

5

2

mgR．

点评：本题考查了能量的转化和守恒，同时还有机械能守恒和平抛运动的规律，涉及的知识点较多，对学生的能力要求较高．