Question

制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示，加在极板A、B间的电压U_AB作周期性变化，其正向电压为U₀，反向电压为-kU₀（k＞1），电压变化的周期为2r，如图乙所示．在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动．若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用．
（1）若k=

5

4

，电子在0-2r时间内不能到达极板A，求d应满足的条件；
（2）若电子在0～200t时间内未碰到极板B，求此运动过程中电子速度v随时间t变化的关系；
（3）若电子在第N个周期内的位移为零，求k的值．

Answer 1

分析：（1）电子在0～τ时间内做匀加速运动，在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做初速度为零的匀加速运动，电子不能到达极板A的条件为电子运动位移之和小于板间距离
（2）电子2n～（2n+1）τ时间内向下匀加速直线运动，在（2n+1）～2（n+1）τ时间内做向下做匀减速直线运动，求出一个电压变化周期内电子速度的增量，在求任意时间电子的速度随时间的变化规律
（3）电子在第N个周期内的位移是在2（N-1）τ～（2N-1）τ时间内的位移与电子在（2N-1）τ～2Nτ时间内的位移的矢量和，求出表达式，利用位移为零得到k的表达式

解答：解：（1）电子在0～τ时间内做匀加速运动
加速度的大小：a1=

eU0

md

…①
位移：x1=

1

2

a1τ2…②
在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动
加速度的大小：a2=

5eU0

4md

…③
初速度的大小：v₁=a₁τ…④
匀减速运动阶段的位移：x2=

v12

2a2

…⑤
依据题意：d＞x₁+x₂
解得：d＞

9eU0τ2 10m

…⑥
（2）在2nτ～（2n+1）τ 时间内，（n=0，1，2，3…99）
速度增量△v₁=a₁τ…⑦
在（2n+1）τ～2（n+1）τ（n=0，1，2，…99）时间内
加速度大小：a′₂=

ekU0

md

速度增量：△v₂=-a′₂τ…⑧
（a）当0≤t-2nτ＜τ时
电子的运动速度：v=n△v₁+n△v₂+a₁（t-2nτ）…⑨
解得：v=【t-（k+1）nτ】

eU0

dm

，（n=0，1，2，3…99）…⑩
（b）当0≤t-（2n+1）τ＜τ时
电子运动的速度：v=（n+1）△v₁+n△v₂-a′₂【t-（2n+1）τ】…（11）
解得：v=【（n+1）（k+1）τ-kτ】

eU0

dm

，（n=0，1，2，3…99）…（12）
（3）电子在2（N-1）τ～（2N-1）τ时间内的位移：x2N-1=v2N-2τ+

1

2

a1τ2
电子在（2N-1）τ～2Nτ时间内的位移：x2N=v2N-1τ+

1

2

a′2τ2
由⑩式可知：v2N-2=(N-1)(1-k)τ

eU0

dm

由（12）式可知：v2N-1=(N-Nk+k)τ

eU0

dm

依据题意：x_2N-1+x_2N=0
解得：k=

4N-1

4N-3

答：（1）d应满足的条件是d＞

9eU0τ2 10m

（2）（a）当0≤t-2nτ＜τ时
v=【t-（k+1）nτ】

eU0

dm

，（n=0，1，2，3…99）
（b）当0≤t-（2n+1）τ＜τ时，v=【（n+1）（k+1）τ-kτ】

eU0

dm

，（n=0，1，2，3…99）
（3）若电子在第N个周期内的位移为零，则 k=

4N-1

4N-3

点评：电子在交变电场中的变加速运动问题是考察的热点，重要的是分析清楚电子的运动情景，同时这种问题运算量较大，过程较为复杂，给学生造成较大的难度