Question

8．如图所示，一粗细均匀的直杆倾斜固定放置，杆与水平方向成θ 角，一质量为m的球套在杆上，用竖直向上的恒力F拉球，球从静止开始沿杆向上做匀加速运动，球运动到杆的中点C时撤去拉力，球刚好运动到杆的顶端B时速度为0．已知重力加速度为g．求：
（1）球与杆间的动摩擦因数；
（2）若杆的长度为L，小球从A运动到B所用的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）球运动到杆的中点C时撤去拉力，刚好运动到杆的顶端B时速度为0，可知两段位移的大小是相等的，结合位移速度公式求出加速度的大小关系，然后对物体进行受力分析，再写出牛顿第二定律的表达式，最后求出动摩擦因数；
（2）写出物体的加速度的表达式，然后由位移公式即可求出时间．

解答 解：（1）由题意可知两段位移的大小是相等的，由于初速度和末速度都是0，所以两段运动具有对称性，即两段运动的加速度大小相等，一正一负．
开始时和撤去拉力后的受力分布如图，则：

开始时在垂直于斜面的方向：N+mgcosθ=F•cosθ
沿斜面的方向：F•sinθ-mgsinθ-μN=ma₁
撤去拉力后，垂直于斜面的方向：N′-mgcosθ=0
沿斜面的方向：-mgsinθ-μN′=ma₂
由于：a₂=-a₁
联立以上各式，得：μ=$\frac{Fsinθ-2mgsinθ}{Fcosθ}$
小球向上运动的加速度：${a}_{1}=2gsinθ（1-\frac{mg}{F}）$
（2）由（1）的分析可知，小球向上加速的位移与减速的位移都是$\frac{1}{2}L$，则：
$\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{t}{2}）^{2}$
所以：t=$2\sqrt{\frac{L}{{a}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ•（1-\frac{mg}{F}）}}$
答：（1）球与杆间的动摩擦因数是$\frac{Fsinθ-2mgsinθ}{Fcosθ}$；
（2）若杆的长度为L，小球从A运动到B所用的时间是$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ•（1-\frac{mg}{F}）}}$

点评 该题考查牛顿第二定律的应用，在解答的过程中要注意的是小球向上运动的加速度与向上做减速运动的加速度大小相等，方向相反，这里是解题的关键．