Question

7．如图所示，直立的导热气缸内有一横截面积S=10cm²、质量m=1kg的活塞，活塞与气缸顶部连接一原长x=30cm、劲度系数k=1000N/m的轻质弹簧，开始时弹簧处于拉伸状态，气缸内空气的压强为标准大气压的1.5倍，现用一逐渐增大的外力F竖直向上作用于活塞，使其缓慢向上移动，不计活塞与气缸内壁间的摩擦（已知一个标准大气压为1.0×10⁵pa）．求：
（ⅰ）开始时弹簧的伸长量；
（ⅱ）弹簧恢复到原长时F的大小．

Answer 1

分析 （1）开始时活塞受到重力、弹簧的拉力以及上下空气的压力，根据共点力的平衡条件和胡克定律列方程即可求出；
（2）由题意，气体做等温变化，先求出气体的压强，然后由理想气体的状态方程，即可求出，

解答 解：（ⅰ）开始时设弹簧的弹力为F₁，对活塞进行受力分析得：
1.5P₀S+mg=F₁+P₀S
代入数据得：F₁=60N
由胡克定律：F₁=k△x
所以：$△x=\frac{{F}_{1}}{k}=\frac{60}{1000}=0.06$m=6cm
（ⅱ）设弹簧恢复原长时气体的压强为P₂，根据理想气体的状态方程：
1.5P₀（x+△x）•S=P₂•x•S
代入数据可得：P₂=1.8P₀
此时对活塞进行受力分析，有：1.8P₀S+mg=F+P₀S
代入数据得：F=90N
答：（ⅰ）开始时弹簧的伸长量是6cm；
（ⅱ）弹簧恢复到原长时F的大小是 90N．

点评 该题结合共点力的平衡考查理想气体的状态方程，解答本题的关键是正确分析气体的状态参量，判断何种变化是关键，同时要能根据平衡条件求解封闭气体的压强．