Question

如图2-1所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变。

（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？
（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？
（3）求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H？

Answer 1

解：物块向下先作加速运动，随着物块的下落，两绳间的夹角逐渐减小。因为绳子对物块的拉力大小不变，恒等于F，所以随着两绳间的夹角减小，两绳对物块拉力的合力将逐渐增大，物块所受合力逐渐减小，向下加速度逐渐减小。当物块的合外力为零时，速度达到最大值。之后，因为两绳间夹角继续减小，物块所受合外力竖直向上，且逐渐增大，物块将作加速度逐渐增大的减速运动。当物块下降速度减为零时，物块竖直下落的距离达到最大值H。
当物块的加速度为零时，由共点力平衡条件可求出相应的θ角，再由θ角求出相应的距离h，进而求出克服C端恒力F所做的功。
对物块运用动能定理可求出物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H。
（1）当物块所受的合外力为零时，加速度为零，此时物块下降距离为h。因为F恒定，所以绳对物块拉力大小恒为mg，由平衡条件知：2θ=120°，所以θ=60°，[1分]
由图2-2知：h=L*tg30°=L　　 　 　　　　　　 　 　　　　 　　 [1分]
（2）物块下落h时，绳的C、D端均上升h’由几何关系可得：h’=-L [1分]
克服C端恒力F做的功为：W=F*h’ 　　 　　　　　 　　　　 　　　 [1分]
由[1]、[2]、[3]式联立解得：W=（-1）mgL              [1分]
（3）出物块下落过程中，共有三个力对物块做功。重力做正功，两端绳子对物块的拉力做负功。两端绳子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功。因为物块下降距离h时动能最大。由动能定理得：mgh-2W=　 　　　　　　　 [2分]
将[1]、[2]、[3]式代入[4]式解得：Vm=              1分
当物块速度减小为零时，物块下落距离达到最大值H，绳C、D上升的距离为H’。由动能定理得：mgH-2mgH’=0，又H’=-L，联立解得：H=。   2分

解析