Question

5．如图，ABC为固定在竖直平面内的轨道，AB为光滑的四分之一圆弧，与粗糙水平面BC相切．将质量m=0.5kg的滑块从A点静止释放，滑块与水平面间的动摩擦因数μ₁=0.1，滑块从B点滑行L=18m后到达C点时速度v₁=8m/s．现将BC间的一段MN用铁刷划擦，使该段的动摩擦因数变为μ₂=0.5，再使滑块从A点静止释放，到达C点的速度为v₂=6m/s．
（1）求圆弧的半径R；
（2）求MN段的长度l；
（3）若BC间用铁刷划擦的MN段的长度不变，要使滑块从B到C的运动时间最长，问铁刷划擦的MN段位于何位置？请作出v-t图，并通过分析v-t图得出结论．

Answer 1

分析 （1）滑块第一次从B到C，由动能定理可求得滑块经过B点的速度．对滑块由A到B，由动能定理列式，可求得圆弧的半径R．
（2）滑块第二次从B到C，由动能定理列式，可求得MN段的长度l．
（3）MN在最左端时滑块从B到C的运动时间最长，由运动学速度位移关系公式研究MN段，得到此过程滑块到N的速度．再平均速度求滑行的总时间．

解答 解：（1）滑块第一次从B到C，由动能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得滑块经过B点时的速度为：v_B=10m/s
滑块由A到B，由动能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：R=5m
（2）滑块第二次从B到C，由动能定理得：
-μ₁mg（L-l）-μ₂mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：l=3.5m
（3）根据动能定理可知，无论MN段位何位置，滑块到达C点的速度不变，如图，作出v-t图象．黑线表示MN段没有用铁刷划擦的图象．由于MN段长度不变，随着M端离B点距离增大，由图看出所用时间变短，因此M端与B点重合时，所用时间最长．
由题意分析可知，MN在最左端时滑块从B到C的运动时间最长．
答：（1）圆弧的半径R是5m；
（2）MN段的长度l是3.5m；
（3）铁刷划擦的MN段M端与B点重合时，所用时间最长．

点评 本题涉及力在空间的效应，运用动能定理是常用的思路，要反复运用动能定理列式解答，列式时要抓住各个过程之间的联系，如速度关系．