Question

如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点

r

2

处固定一个质量也为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：
（1）当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
（2）A球转到最低点时的线速度是多少？
（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

Answer 1

（1）当A球转到最低点时，A的重力势能减小mgr，B的重力势能增加mg

r

2

，所以两小球的重力势能之和减少为△E_P=mgr-mg

r

2

=

1

2

mgr
（2）取圆盘最低处的水平面势能为零，
由机械能守恒定律可得：mgr=mg

r

2

+

1

2

m（ωr）²+

1

2

m（ω×

r

2

）²，
又 v_A=ωR，
解得v_A=

0.8gr

（3）设OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ，
由系统机械能守恒定律得
mgr×cosθ-mg

r

2

×（1+sinθ）=0
得 2cosθ=1+sinθ，
4（1-sin2θ）=1+2sinθ+sin2θ，
5sin2θ+2sinθ-3=0
sinθ=0.6
∴θ=37°
答：
（1）当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了

1

2

mgr．
（2）A球转到最低点时的线速度是

0.8gr

．
（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是37°．