Question

9．如图所示，一个质量m=0.5kg的小球（视为质点）从H=12m高处，由静止开始沿光滑弧形轨道AB滑下，接着进入半径R=4m的粗糙竖直圆环，当到达环顶C时，刚好对轨道压力为零，小球沿左半环CB滑下后，再进入光滑弧形轨道BD，且到达D点时速度为零，g取10m/s²，下列说法正确的是（　　）

• A． 在由A到D的过程中，小球的机械能守恒
• B． D点离地面的高度是8m
• C． 小球第一次过B点时对轨道的压力大小是35N
• D． 小球从B到C的过程中克服阻力做的功是10J

Answer 1

分析 当小球到达环顶C时，刚好对轨道压力为零，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球经过C点时的速度，得到其机械能，再与小球在A点的机械能比较，分析小球的机械能是否守恒．根据机械能守恒定律求出小球第一次过B点时的速度，由牛顿运动定律求解小球对轨道的压力．由动能定理求解小球从B到C的过程中克服阻力做的功．

解答 解：A、当小球到达环顶C时，刚好对轨道压力为零，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得v_C=$\sqrt{gR}$．
以B点所在水平面为参考平面，则小球经过C点时的机械能为 E_C=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{5}{2}$mgR=$\frac{5}{2}$×0.5×10×4J=50J，小球经过A点时的机械能为E_A=mgH=60J．可见，在由A到D的过程中，小球的机械能不守恒．故A错误．
B、设D点离地面的高度是h，从C到D的过程中，由功能关系得：mgh＜E_C，解得 h＜10m．由于到达C点的速度要大于零，应有 h＞2R=8m，所以有 8m＜h＜10m，故B错误．
C、对于A到B过程，由机械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$得，v_B=$\sqrt{2gH}$．在B点，由牛顿第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，代入解得，N=35N，则小球第一次过B点时对轨道的压力大小是35N．故C正确．
D、对于B到C过程，由动能定理得：-mg•2R-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，代入解得：W_f=10J，即小球从B到C的过程中克服阻力做的功是10J．故D正确．
故选：CD

点评 本题是隐含的临界问题，当小球恰好到达环顶C时，由重力提供向心力．要阻力是变力，应用动能定理求解克服阻力做功．