Question

9．如图所示，在水平桌面上放着一根两端封闭的长为L的玻璃管，管内劲度系数为k的轻弹簧一端固定在管壁左侧，另一端连着一质量为m的小球，小球与玻璃管的右侧壁刚好相接触．现加一外力使玻璃管以左端为轴缓慢转至竖直位置，此过程外力做功为W．已知重力加速度大小为g，小球的直径略小于玻璃管的内径，不计玻璃管的质量和小球与玻璃管的摩擦，则整个过程中下列情况可能的是（　　）

• A． 小球与弹簧组成的系统机械能保持不变
• B． 弹簧增加的弹性势能为W-mgL+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
• C． 小球的重力势能逐渐增大
• D． 小球距桌面的高度先增大后减小

Answer 1

分析 根据功能关系分析系统的机械能如何变化．当管子转至竖直位置时，由胡克定律求出弹簧的压缩量，再由功能关系求弹簧增加的弹性势能．根据重力做功分析重力势能的变化情况．由平衡条件和几何关系分析高度的变化．

解答 解：A、整个过程中，管子对小球要做功，所以系统的机械能增加，故A错误．
B、设玻璃管转至竖直位置时弹簧的压缩量为x．由胡克定律和平衡条件有：kx=mg，x=$\frac{mg}{k}$
玻璃管竖直时小球离地的高度为：H=L-x=L-$\frac{mg}{k}$
设弹簧增加的弹性势能为E_p．根据功能关系得：W=mgH+E_p．解得：E_p=W-mgL+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．故B正确．
CD、设任一位置管子与地面的夹角为α，此位置时弹簧的压缩量为：x′=$\frac{mgsinα}{k}$
小球距桌面的高度为：h=（L-$\frac{mgsinα}{k}$）sinα
将h对α求导得：h′=Lcosα-$\frac{2mgsinαcosα}{k}$
由于L、mg、k的数量关系未知，所以 h′可能一直大于零，则h一直增大，小球的重力势能逐渐增大．h′也可能先大于零，后小于零，则h先增大后减小，故CD正确．
故选：BCD

点评 解决本题的关键是利用函数法得到小球离地高度的表达式，结合数学知识分析高度的变化情况，从而判断重力势能的变化情况．