Question

19．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示．已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为g₁，引力常量为G．试求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度v₁；
（3）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h．

Answer 1

分析 在月球表面的物体受到的重力等于万有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，化简可得月球的质量．
根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，可计算出近月卫星的速度，即月球的第一宇宙速度．
根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，结合周期和轨道半径的关系，可计算出卫星的高度．

解答 解：（1）月球表面处引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₁，
得：M=$\frac{{{g}_{1}R}^{2}}{G}$  
（2）第一宇宙速度为近月卫星运行速度，由万有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度为：v=$\sqrt{{g}_{1}R}$
（3）卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
卫星周期为：T=$\frac{t}{n}$
轨道半径为：r=R+h
解得：h=$\root{3}{\frac{{{{g}_{1}R}^{2}t}^{2}}{{{4n}^{2}π}^{2}}}$-R
答：（1）月球的质量为$\frac{{{g}_{1}R}^{2}}{G}$；
（2）月球的第一宇宙速度为$\sqrt{{g}_{1}R}$；
（3）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度为$\root{3}{\frac{{{{g}_{1}R}^{2}t}^{2}}{{{4n}^{2}π}^{2}}}$-R；

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．