Question

20．如图所示，倾斜轨道的下端与半径为R的圆轨道平滑连接，现在使小球从弧形轨道上端距地面2R的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，轨道摩擦不计．试求：
（1）小球在最低点B时对轨道的压力大小；
（2）若使小球能过圆轨道最高点C，则释放小球时，A′点距离地面的高度至少是多少？

Answer 1

分析 （1）对小球从A到B过程运用动能定理列式求解末速度；在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解支持力，再根据牛顿第三定律得到压力；
（2）考虑临界情况，在C点，重力提供向心力，得到C点的速度；对从A′点到C过程，根据动能定理列式；最后联立求解即可．

解答 解：（1）小球从A到B的过程中，由动能定理得：
$mg•2R=\frac{1}{2}m{v^2}$
得：v=2$\sqrt{gR}$
在最低点，根据牛顿第二定律，有：
${N_B}-mg=m\frac{v^2}{R}$
得：N_B=5mg
根据牛顿第三定律：小球在最低点B时，对轨道的压力大小为5mg．
（2）设小球恰好能过C点，则在C点有：$mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$．
设此时A′点距地面高度为h，则小球从A′到C的过程中，由机械能守恒定律得：
mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得：
h=2.5R
答：（1）小球在最低点B时对轨道的压力大小为5mg；
（2）若使小球能过圆轨道最高点C，则释放小球时，A′点距离地面的高度至少是2.5R．

点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，结合动能定理、牛顿第二定律列式分析，基础题目．